Simplifique F(x+h) - F(x)/h, sendo f(x) = x^3 + x^2 - x

f(x) = x³+x²-x f(x+h) = (x+h)³+(x+h)²-(x+h) = x³+h³+3x²h+3h²x+x²+2xh+h²-x-h f(x+h)-f(x) = [x³+h³+3x²h+3h²x+x²+2xh+h²-x-h] - (x³+x²-x) = h³+3x²h+3h²x+2xh+h²-h [f(x+h)-f(x)]/h = h²+3x²+3hx+2x+h-1 Se tomamos o limite desse quociente quando h tende pra zero, obtemos: Lim [f(x+h)-f(x)]/h = 0+3x²+0+2x+0-1 = 3x²+2x-1 h -->0 que é exatamente a derivada da função f(x).

Acredito que você esteja querendo achar o seguinte limite abaixo:

Lim X - 0 ( (F(X + h) - F(X)) / h ) = d F (X) / d X (derivada da função F em relação à variável X

Para F (X) = X^3 + X^2 - X

RESOLUÇÃO:

1ª MANEIRA: Por derivada (mais fácil e mais rápida)

d F (X) / d X = 3X^2 + 2X - 1, a qual é a RESPOSTA DO EXERCÍCIO.

2ª MANEIRA: Por limite (mais trabalhosa)

d F (X) / d X =

= Lim X - 0 ( (F(X + h) - F(X)) / h ) =

= Lim X-0 ( ( (X+H)^3 + (X+H)^2 - (X+H) - (X^3 + X^2 - X ) ) / H ) =

= Lim X-0 ( (X^3 + 3(X^2)H + 3X(H^2) + H^3 + X^2 + 2XH + H^2 - X - H - X^3 - X^2 + X ) / H ) =

= Lim X-0 ( ( 3(X^2)H + 3X(H^2) + H^3 + 2XH + H^2 - H) / H ) =

= Lim X-0 ( ( H (3X^2 + 3XH + H^2 + 2X + H - 1) ) / H ) =

= Lim X-0 (3X^2 + 3XH + H^2 + 2X + H - 1) =

= 3X^2 + 2X - 1, a qual é a RESPOSTA DO EXERCÍCIO.

Antes de começar este exercício temos que lembrar a definição de derivada. Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por: f' (x0) = lim [f(x0 + ?x) – f(x0)]/?x ?x ->0 se este limite existir, ?x = h representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x0 + h, temos que ?x = h = x – x0, e podemos reescrever a equação acima como: f' (x0) = lim [f(x0 + h) – f(x0)]/h h ->0 Tendo isto em mente, vamos resolver o exercício f(x+h) = (x+h)^3 + (x+h)^2 - (x+h) = x^3 + 3hx^2 + 3xh^2 + h^3 + x^2 + 2hx + h^2 - x - h f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3hx^2 + 3xh^2 + h^3 + x^2 + 2hx + h^2 - x - h) - (x^3 + x^2 - x) = 3hx^2 + 3xh^2 + h^3 + 2hx + h^2 - h [f(x+h) - f(x)]/h = (3hx^2 + 3xh^2 + h^3 + 2hx + h^2 - h)/h = 3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h - 1 Se fizermos o limite desta função, temos: lim [f(x+h) - f(x)]/h = 3x^2 + 3x0 + 0^2 + 2x + 0 - 1 h ->0 = 3x^2 + 2x - 1 É possível perceber que o resultado final é igual a derivada f'(x).