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Boa noite, Amanda!
Considerando três escalares ,
e
, e os vetores
,
e
, dizer que estes vetores são linearmente independentes significa dizer que
, ou seja, uma combinação linear entre dos vetores
,
e
resulta no vetor nulo se, e somente se, os três escalares forem iguais a 0.
Agora, vamos demonstrar que ,
e
também são linearmente independentes.
Demonstração:
Consideremos uma combinação linear de ,
e
que resulta no vetor nulo:
, pelo enunciado temos que
, agrupando os escalares de
,
e de
obtemos
. Mas pelo enunciado,
,
e
, são linearmente independentes, portanto temos o sistema linear formado pelas seguintes equações (1), (2) e (3)
(1)
(2)
(3)
Substituindo nas equações (1) e (2) e resolvendo, obtemos que
e
. Portanto, uma combinação linear dos vetores
,
e
. Logo
,
e
são linearmente independentes, como queríamos demonstrar!
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