Produção de cobb - douglas

Considere uma funcho de produção  Cobb-Douglas com três insumos. K  ́e o capital (nu ́mero de ma ́quinas), L  ́e mao-de-obra (o nu ́mero de trabalhadores) e H  ́e o capital humano (o nu ́mero de pessoas com curso superior, ou seja, qualificadas entre os trabalhadores dessa economia). A função de produção:

Y= K^1/3 . L^1/3 . H^1/3

a) Derive uma expressa ̃o para o produto marginal da ma ̃o-de-obra. De que modo um aumento na quantidade de capital humano afeta a produtividade marginal da ma ̃o-de-obra? (20%)
b) Derive uma expressa ̃o para o produto marginal do capital humano. De que modo um aumento na quantidade de capital humano afeta a produtividade marginal do capital humano? 
c) Qual  ́e a parcela de renda paga a` ma ̃o-de-obra? Qual  ́e a parcela de renda paga ao capital humano? Nas contas nacionais dessa economia, que parcela da renda total vocˆe imagina que os trabalhadores aparentariam receber? (Dica: considere o ponto em que aparece o retorno em rela ̧c ̃ao ao capital humano.) 
d) um trabalhador com m ̃ao-qualificado ́e remunerado com o produto marginal da m ̃ao-de- obra, enquanto um trabalhador qualificado  ́e remunerado com o produto marginal da ma ̃o-de-obra somado ao produto marginal do capital humano. Utilizando os resultados das letras (a) e (b), encontre a propor ̧ca ̃o entre sala ́rio para trabalha- dores qualificados e trabalhadores n ̃ao-qualificados. De que modo um aumento na quantidade de capital humano afeta essa proporc ̧ ̃ao? Explique. 
e) Algumas pessoas defendem que o governo deva financiar bolsas de estudo, como um meio de criar uma sociedade mais igualita ́ria. Outros argumentam que as bolsas de estudo ajudam apenas aqueles que tˆem condi ̧co ̃es de ingressar em uma universidade pu ́blica. Suas respostas anteriores, itens (a), (b), (c) e (d), ajudam vocˆe a defender uma dessas teses? Qual seria e por que?