Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y) limitados pelas curvas y=x^2 e y=x-x^2

Boa tarde Luana.

Para melhor compreensão do problema fica mais fácil desenhar as duas regiões, por isso fiz a figura a seguir:



Para melhor visualização, acesse:

http://s11.postimg.org/uxzcvj0n7/rea_curvas.jpg

Precisamos, portanto, calcular a área CINZA da figura.

Observação: Não precisamos do desenho para resolver o problema apenas fiz para melhor explicação/compreensão.

Como o assunto é engenharia, presumo eu que este seja seu curso e que você já fez ou está fazendo CÁLCULO, portanto, farei a resolução do exercício partindo destes princípios. Caso os passos não fiquem claros, me avise.

Vou mudar a notação de

y = x² para f(x) = x², ou seja, de y para f(x);
e
y = x - x² para g(x) = x - x², ou seja, de y para g(x)

Precisamos calcular a área entre as curvas, acima de f(x) e abaixo de g(x). Portanto, nossa função que chamarei de h(x) é dada por

h(x) = g(x) - f(x)

h(x) = x - x² - x²

h(x) = x - 2x²

Agora precisamos encontrar os dois valores de x em que as curvas se intersectam, ou seja, os valores de x que deixam os valores das funções IGUAIS .

Pela figura, podemos ver que os valores de x são 0 e 0,5, mas faremos isso "manualmente".

Temos que as funções são iguais, ou seja, f(x) = g(x) . Logo

x² = x - x²

Passando TUDO para o lado esquerdo, temos

x² + x² - x = 0

2x² - x = 0 (Note que a expressão é -h(x))

Colocando o x em evidência (fator comum), temos

x.(2x - 1) = 0

Como temos uma multiplicação de dois fatores, a expressão será ZERO se um dos fatores forem ZERO, ou seja,

x = 0

ou

2x -1 = 0

2x = 1

x = 1/2 = 0,5. (Usarei a FRAÇÃO nos cálculos)

Agora que temos os valores de x que as funções se intersectam e a função que define a área calculamos a integral de h(x) entre 0 e 0,5, ou seja,

Acesse:

http://s7.postimg.org/n53qnf7cb/rea_calculo.jpg

Portanto a área entre as curvas é 1/24 =0,4166...

Espero ter ajudado.

ola Luana Ferreira tudo bem com vç? simplificando o que voçe perguntou vamos la.
calculando a área do conjunto de todos os pontos (x,y) limitados pelas curvas y=x^2 e y=x-x^2 de forma
grafica,onde este exercicio pode ser resolvido de varias formas,para simplificar vamos usar um lote de conjunto de soluçoes para o poblema em si vamos la.
forma alternativa
{y = e x^2 y, x^2+y = x, x (e x y+x-1) = 0}

{y = e x^2 y, -(x-1) x = y, -(x-1) x = e x^2 y}

{y = 0||x^2 = 1/e, y = x-x^2, x = 0||x y = 1/e-x/e}


forma alternativa asumindo x e y positivos
{e x^2 = 1, x^2+y = x, e x y+x = 1}

Soluções: formas aproximadas
x = 0, y = 0

x = 1, y = 0

x = -1/sqrt(e), y = -(1+sqrt(e))/e

espero ter ajudado

Resolva o sistema {y=x² y=x+2