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Encontre o volume do sólido.

Engenharia Curso superior Cálculo III

Encontre o volume do sólido limitado pela interseção do plano 2x + y + z = 4 com os planos: x=0 , y=0, z=0 . Use integral dupla para fundamentar sua resposta.

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Inacio perguntou há 6 anos

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Professor Marcos F.
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Olá Inacio. Quando z=0 -> 2x+y=4 (uma reta) Então, quando y=0, x=2 e quando x=0, y=4. Então o Volume = Integral { x vai de 0 a 2 da Integral[ y vai de 0 até 4-2x] ( 4 - 2x - y) dydx Integral( 4 - 2x - y) dy = [4y -2xy - y^2/2] calculada de y= 0 até 4-2x [4(4-2x) -2x(4-2x) - (4-2x)^2/2] = 16- 8x -8x + 4x^2 -(16 -16x+4x^2)/2 = 16- 8x -8x + 4x^2 -8 +8x-2x^2= 8 - 8x + 2x^2 Integral quando x vai de 0 a 2 de (8 - 8x +2x^2) = 8x - 4x^2 + 2/3x^3 calculado de 0 a 2 V =8.2 - 4.4 + 16/3 = 16/3. Está correto, pois o volume de um tetraedro que é formado pelos planos intercepta os pontos (2,0,0) , (0,4,0) (0,0,4) e (0,0,0), tem área da base 2.4/2 = 4 V=(1/3).Ab.h = (1/3).4.4 = 16/3 Bons estudos !

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