Exercício de otimização, me ajudem por favor.

Professor Evandro E.

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Respondeu há 4 anos

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Olá, Cecília! Boa tarde/boa noite/bom dia!!

Para a resolução deste exercícios, vamos relembrar as informações fornecidas pelo enunciado.

* caixa retangular fechada => existem 6 faces de áreas superficiais. Então: x (base), y (largura) e z (altura).
* base duas vezes mais longa que a largura => x = 2y
* área de superfície total 27 ft^2

O volume da caixa é: V = xyz   EQ(01)
Este volume deve ser otimizado!!

A área superficial será: A = 2xy + 2yz +2xz = 27
Substituindo x = 2y na eq acima, tem-se:
A = 2(2y)y + 2yz + 2(2y)z = 27 =>
4y^2 + 2yz +4yz = 27 =>
4y^2 + 6yz = 27 => fatorando
2y(2y + 3z) = 27 => isolando z
2y + 3z = 27/2y =>
3z = (27/2y) - 2y =>
z = (27/6y) - (2y/3) =>
z = (9/2y) - (2y/3)   EQ (02)

Agora, substituindo x = 2y e também a EQ (02) na EQ (01), tem-se:
V = xyz => V = (2y)y[(9/2y) - (2y/3)] =>
V = (2y^2)[(9/2y) - (2y/3)] =>
V = 9y - [(4y^3)/3]   EQ (03)

O maior volume, ou a otimização do volume, é aquele cuja derivada primeira é igual a zero.
Derivando a EQ (03), então:
V' = 9 - [(12y^2)/3)] =>
V' = 9 - 4y^2 => V' = 0
9 - 4y^2 = 0 =>
9 = 4y^2 => ou
y^2 = 9/4 => extraindo a raiz quadrada
y = SQRT(9/4) =>
y = 3/2 ft
Então: x = 2y =>
x = 2(3/2) = 6/2 = 3 =>
x = 3 ft
E também: z = (9/2y) - (2y/3) =>
z = [(9/(2*3)] - [2*(3/2)/3] =>
z = [(9/6)] - [(6/2)/3] =>
z = (3/2) - [(6/2)*1/3] =>
z = (3/2) - [(6/6)] =>
z = (3/2) - (1) =>
z = (3/2) - 1 => MMC
z = (3-2)/2 = 1/2 ft
Portanto:
x = 3 ft, y = 3/2 ft, z = 1/2 ft

Espero ter ajudado e ter deixado claro, com as etapas de resolução do exercício!
Por favor, deixe o LIKE na resposta!
Bons estudos!!

Professor Cristiano A.

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Respondeu há 4 anos

Uma medida é x e a outra x+2, porém falta a altura y. Área total 27. Montar uma função com isso. F(x)= 2. (x y.+ y(x+ 2) + x.(x+ 2)) -27

 Para maximizar, derivada primeira é igual a zero.