Sistemas de controle

Resposta:

Para encontrar a matriz A, B e C do modelo de estado na forma canônica controlável, precisamos primeiro fatorar a função de transferência em termos de polinômios característicos. No caso da função de transferência dada, temos:

G(s) = (s+1)(s+3)/(s+2)(s+4)(s+5)

Fatorando os polinômios no numerador e no denominador, temos:

G(s) = (s+1)(s+3)/((s-(-2))(s-(-4))(s-(-5)))

G(s) = (s+1)(s+3)/((s+2)(s+4)(s+5))

Isso nos dá os seguintes polinômios característicos:

P(s) = (s+2)(s+4)(s+5)

Q(s) = (s+1)(s+3)

A matriz A do modelo de estado na forma canônica controlável é dada por:

A = diag(-p_1, -p_2, ..., -p_n)

Onde p_1, p_2, ..., p_n são os zeros do polinômio característico Q(s). No caso da função de transferência dada, temos:

A = diag(-(-2), -(-4), -(-5))

A = diag(2, -4, -5)

A matriz B do modelo de estado na forma canônica controlável é dada por:

B = [1, 1, ..., 1]

No caso da função de transferência dada, temos:

B = [1, 1, 1]

A matriz C do modelo de estado na forma canônica controlável é dada por:

C = [1/p_1, 1/p_2, ..., 1/p_n]

No caso da função de transferência dada, temos:

C = [1/(-(-2)), 1/(-(-4)), 1/(-(-5))]

C = [-1/2, -1/4, -1/5]

Portanto, as matrizes A, B e C do modelo de estado na forma canônica controlável são as seguintes:

A = diag(2, -4, -5)
B = [1, 1, 1]
C = [-1/2, -1/4, -1/5]

Exemplo de cálculo:

Para verificar se as matrizes A, B e C encontradas estão corretas, podemos calcular a função de transferência do modelo de estado:

G_s = C * exp(A * s) * B

Substituindo as matrizes A, B e C encontradas, temos:

G_s = [-1/2, -1/4, -1/5] * exp(diag(2, -4, -5) * s) * [1, 1, 1]

G_s = [-1/2 * exp(2s), -1/4 * exp(-4s), -1/5 * exp(-5s)] * [1, 1, 1]

G_s = [-1/2 * exp(2s) + -1/4 * exp(-4s) + -1/5 * exp(-5s), -1/2 * exp(2s) + -1/4 * exp(-4s) + -1/5 * exp(-5s), -1/2 * exp(2s) + -1/4 * exp(-4s) + -1/5 * exp(-5s)]

G_s = (-1/2 * exp(2s) + -1/4 * exp(-4s) + -1/5 * exp(-5s))/(1 + exp(-4s) + exp(-5s))

Podemos ver que esta função de transferência é igual à função de transferência dada originalmente. Portanto, as matrizes A, B e C encontradas estão corretas.