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Sólido limitado pelos planos coordenados

Engenharia Curso superior Cálculo III

Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o cilindro x2 + y2 = 1 e o plano z + x = 4.

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Inacio perguntou há 6 anos

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Professor Marcos F.
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Respondeu há 6 anos
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Olá Inácio. No 1o octante, x>0 e y>0. O cilindro tem como base um quarto de círculo de raio 1 e centro (0,0,0). Ele se encontra com o plano z+x=4 (z= 4-x) em uma espécie de um quarto de elipse. Por exemplo, quando x=1 e y=0 , z=3 - P(1,0,3); quando x=0 e y=1 , z=4 - P(0,1,4). Assim, em coordenadas cilíndricas, o volume V = integral de teta = 0 até Pi/2 e r vai de 0 até 1 [4 - rcos(teta)]r(dteta)dr. Integral [4r - r^2.cos(teta)](dteta)= [4rteta- r^2.sen(teta)] calculado de 0 até pi/2 = 4r(pi/2-0)-r^2[(sen(pi/2)-sen0] = 2pi.r-r^2. Integral (2pi.r-r^2)dr = (pi.r^2 - r^3/3) calculado de 0 até 1 = pi - 1/3 Bons estudos !

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