Valor resultante de foça

Professor Gabriel S.

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Respondeu há 1 ano

Seja o carregamento sobre a viga distribuído de acordo com a figura a seguir:

Vamos calcular a força resultante (excluindo o peso da viga) e o ponto de aplicação dessa força (centróide) através do momento fletor. A força resultante depende da distribuição de carga e do comprimento da seção da viga no qual aplicamos essa carga. Assim, 

O primeiro passo para resolver a integral a seguir é analisar como a carga se distribui ao longo da viga. Vou optar por colocar a origem do sistema de coordenadas no vínculo com a parede, de forma que x aumenta quando nos afastamos da parede. Inspecionando a figura, podemos constatar que a carga na primeira seção (de 0 a 1 m) é constante e igual a 100 N/m, enquanto na segunda seção a carga vale 100 N/m, quando x=1, e vai diminuindo a partir de 1 m, até atingir 0 na ponta da viga (2 m). As expressões que descrevem com exatidão como a força se distribui ao longo do comprimento total da viga são as seguintes.

, se

, se

Apenas para verificar se as condições de contorno foram respeitadas, fazemos:

A seguir, recorremos às informações encontradas na análise da distribuição para montar a integral, prestando bastante atenção nos limites:

onde , pois a seção da viga que corresponde a primeira metade do carregamento não depende do comprimento, então contamos o comprimento da seção entre 1 e 2 m.

A solução dessa integral é trivial e resulta em N.

A segunda parte consiste em resolver o momento fletor da distribuição por meio da relação:

Como já conhecemos bem a distribuição podemos substituir os limites rapidamente:

Vou optar por dividir os dois lados por 100 para não confundir na hora de integrar, assim:

Neste ponto, peço que analise bem a integral e reflita se você concorda com a álgebra que utilizamos até aqui. Observe que tudo o que fizemos de diferente em relação a resolver a resultante foi multiplicar os dois lados da igualdade por x. Desse modo, o resultado encontrado para momento fletor deve ser coerente com essa informação, e o ponto de aplicação da resultante pode ser obtido simplesmente dividido esse resultado por .

Finalmente, dividindo os dois lados da equação pela resultante e substituindo o valor encontrado na primeira parte, temos m ou 77,8 cm. 

A genialidade desta resposta está toda em constatar a equivalência entre dois sistemas de binários de força. Para todo momento fletor gerado por uma carga distribuída existe um momento equivalente criado por uma força concentrada aplicada ao centroide daquela geometria específica. Se você conhece o momento fletor da distribuição e a resultante ou a força que cria o binário de forças equivalente, você consegue calcular o ponto onde esta força se aplica.