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Matemática Ensino Superior

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Professor David C.
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Respondeu há 4 anos

Prove por indução que

(1+1)\cdot \left(1+\frac{1}{2} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1 , \forall n\in \mathbb{N}^{\ast}

Solução 

Quando n = 1

1 + 1 = n + 1

Suponha que o enunciado é certo para n = h, isto é

(1+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{2} \right)\cdot \left(1 +\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1 +\frac{1}{h} \right) =h+1

então

(1+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{2} \right)\cdot \left(1 +\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1 +\frac{1}{h} \right) \cdot \left(1 +\frac{1}{h+1} \right)=(h+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{h+1} \right)

(1+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{2} \right)\cdot \left(1 +\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1 +\frac{1}{h} \right) \cdot \left(1 +\frac{1}{h+1} \right)=(h+1)\cdot \left(\frac{h+2}{h+1} \right)

(1+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{2} \right)\cdot \left(1 +\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1 +\frac{1}{h} \right) \cdot \left(1 +\frac{1}{h+1} \right) = h+2 = (h+1) +1

logo o enunciado é válido para n = h+1, pelo princípio da indução temos que

(1+1)\cdot \left(1 +\frac{1}{2} \right)\cdot \left(1 +\frac{1}{3} \right)\cdots \left(1 +\frac{1}{n} \right) = n+1, \, \forall n\in \mathbb{N}^{\ast}

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

 

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