Alguém me ajuda por favor nestas questões de matemática

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Boa noite, tudo bem?

Pela análise dos problemas, me parece que esses exercícios não requerem um apelo de ensino superior, assim, resolverei de posse de conteúdos passado no ensino médio. Entretanto, acredito que existam soluções mais refinadas para tais problemas.

1) Primeiramente, note que as duas retas são paralelas não coincidentes, de fato, isolando y em cada equação obtemos:

r: y = (2/3)x + (2/3) e s: y = (2/3)x - 2

Daí, podemos notar que ambas possuem mesma inclinação, pois os coeficientes que acompanham x são iguais nas duas retas, mas elas se diferem por um termo que não depende de x, isto é, uma reta é uma traslação da outra.

Vamos novamente reescrever as equações como:

r: 2x-3y = -2 e s: 2x-3y = 6    (*)

A distância entre duas retas pode ser obtida utilizando-se a expressão d(r,s) = |c - c'|/(sqrt(a²+b²)) onde c e c' são os termos que não dependem de x nas retas r e s, respectivamente. a e b, são são os coeficientes de x e y das expressões (*). Assim, a = 2, b = -3, c = -2 e c' = 6. Daí, voltando com esses valores em d(r,s), obtemos:

d(r,s) = |-2 - 6| / sqrt(4 + 9)

d(r,s) = 8 / sqrt(13) ou d(r,s) = 8.sqrt(13)/13.

2) Vamos primeiramente, determinar a equação da reta r:

r: (y - y₀) = m(x - x₀)

r: (y - 2) = 2 (x - 3)

r: y -2x +1 = 0

Podemos calcular a distancia entre um ponto P = (p,q) e uma reta r de equação ax + by +c = 0 utilizando a expressão d(P,r) = |ap+bq+c|/sqrt(a² + b²). Assim, ja de posse da equação de r, e dado o ponto P = (0,3), substtuindo os valores em d(P,r), obtemos:

d(P,r) = |(-2).0 + 1.3 + 1|/sqrt(1 + 4)

d(P,r) = 4/sqrt(5) ou d(P,r) = 4sqrt(5)/5

3)  Analogamente ao que foi feito no exercício anterior, ja temos a equação da reta como precisamos e temos o ponto P em questão, assim, apenas substituindo na expressão de d(P,r), temos:

d(P,r) = |1.(-1) + 1.(3) + (-5)|/sqrt(1 + 1)

d(P,r) = |-3|/sqrt(2) = 3/sqrt(2) ou d(P,r) = 3sqrt(2)/2.

4) Resolver x² + 3 = 0 é o mesmo que encontrar a raíz quadrada de -x, ou seja, x² = -3. Pelo Teorema Fundamental da Algebra, temos que existem duas soluções para essa equação dadas por x₀ = sqrt(-3) e x₁ = -sqrt(-3). Mas, note que podemos escrever sqrt(-3) como sqrt(-3) = sqrt(3.(-1)) = sqrt(3)sqrt(-1), como nos números complexos i = sqrt(-1), temos, x₀ = sqrt(3).i e x₁ = -sqrt(3).i.

5)Exatamente igual à questão 4.

6) Um numero complexo qualquer é dado em sua forma geral como z = a + bi com i a partícula imaginária que tem a propriedade de que i² = -1. O coeficiente que acompanha a partícula imaginária é chamado Parte Imaginária do número complexo z e representado por Im(z) = b. O número real que não acompanha a partícula imaginária chama-se Parte Real de z e denota-se por Re(z) = a. Assim, do enunciado temos que Im(z) = -4.

7) Da definição dada no exercício anterior temos que se z = 5 + 6i, então Im(z) = 6 e Re(z) = 5.

8) Para que o número complexo z = (m-3) + (m²  - 9)i seja não nulo, devemos ter m-3 diferente de zero e m² - 9 diferente de zero. Mas note que na primeira expressão, o valor que a anula é o valor 3, pois 3 - 3 = 0. Na segunda expressão tanto 3 quanto -3 anulam a anulam (faça as contas é bem simples). Porém, observe que se m = -3, a parte imaginária se anula, entretanto, a parte real fica -3 -3 = -6 que é diferente de zero, ou seja, não há problemas em m assumir o valor -3. Daí, segue que para que z não seja o complexo nulo, basta que m seja diferente de 3.

Espero ter ajudado!

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Olá jonas, boa noite. Na primeira questão é dada a equação da reta s:2x-3y-6=0; r:2x-3y+2=0. Então se quer saber a distância entre elas.

Para acharmos esta distância deveremos determinar o ponto em uma delas, e colocarmos na fórmula abaixo:

x=1

s:2*(1)-3y-6=0; y=(-4/3).

d(P,r)=|a*u+b*v+c|/(raiz(a^2+b^2))

|2*1-3*(-4/3)+2|/(raiz((2)^2+(-3)^2))

(|8|/(raiz(13)). 8/(raiz(13)).

8*(raiz(13))/13.

Espero ter sido esclarecedor, obrigado e até mais. Professor Pedro.