Angulo entre planos

Para achar o ângulo entre planos, devemos primeiro achar os vetores normais de cada um deles. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Vou começar nomeando seus planos: (1) x + 3y + 5z = 7 (2) 4x - 3y + z = -5 Assim, os vetores normais são: n(1) = < 1, 3, 5 > n(2) = < 4, -3, 1 > Que são os coeficientes que acompanham x, y e z, respectivamente. O ângulo entre vetores é dado pela fórmula: cos(a) = n(1).n(2) / |n(1)| . |n(2)| (o cosseno do ângulo é o produto escalar dos vetores, dividido pelo produto do módulo de cada vetor) Lembrando que o produto escalar é o coeficiente x de um vetor vezes o x do outro, mais o y vezes o y, mais o z vezes o z, e que o módulo é a raiz da soma de cada termo ao quadrado, conforme a seguir: cos(a) = (1,3,5) . (4,-3,1) / raiz(1^2 + 3^2 + 5^2) . raiz(4^2 + 3^2 + 1^2) cos(a) = (1*4 + 3*-3 + 5*1) / raiz(1 + 9 + 25) . raiz(16 + 9 + 1) cos(a) = (4 - 9 + 5) / raiz(35) . raiz(26) cos(a) = 0 Se o cosseno do ângulo é zero, o ângulo entre os planos é 90º.

O ângulo entre dois planos pode ser calculado pelo ângulo entre seus vetores normais. Assumindo o produto escalar usual no espaço, temos que os vetores normais dos planos são dados por:
n1=(1,3,5) e n2=(4,-3,1)
Neste caso, vale a relação:
cos(theta) = (n1,n2)/(||n1||.||n2||), onde theta é o ângulo entre os vetores, (.,.) denota o produto escalar e ||.|| denota a norma (módulo) do vetor.
Substituindo os dados do problema, temos: (n1,n2)=1*4+3*(-3)+5*1=0.
Logo cos(thehta)=0 e theta=pi/2 (os planos são perpendiculares entre si)