Considere o plano ? : 2x + 2y + z = 3 e a reta r : (x, y, z) = (4, 0, 4) + t · (3, 0, 3)

Boa noite Bruna. a. O vetor gerador do plano, ortogonal a ele é u=(2,2,1). O vetor gerador da reta é v=(3,0,3). O ângulo entre eles é complementar ao ângulo entre a reta e o plano. Este ângulo é o produto escalar deles dividido pelo produto de seus módulos: cos(x)=u.v/(|u|.|v|) = (2.3+2.0+1.3)/(raiz(6).raiz(18))= 9/raiz(108)=9/(6.raiz(3))=3/(2.Raiz(3))= raiz(3)/2 ==x=30o O ângulo procurado é o complemento de x = 60o b. Determine-se o Ponto de encontro entre a reta r e o plano. x=4+3t y=0 z=4+3t Substituindo na equação do plano: 2(4+3t)+2.0+(4+3t)=3 3.(4+3t)=3 ==> 4+3t=1 ==> t=-1 Assim, P=(4,0,4) - (3,0,3)= (1,0,1) Seja w o vetor gerador da reta s, perpendicular a r, contida no plano Então, w.u=0 --> x.2+y.2+z.1=0 --> 2x+2y+z=0 A Também w.v=0 x.3+y.0+z.3=0 --> 3x +3z=0 B Se z=t, em A 2x+2y = -t em B x =-t Então, substituindo-se a equação inferior na superior, tem-se -2t+2y=-t y=t/2 Assim, w'=(-t,t/2,-t) --> w=(-1,1/2,-1) Testes> - w.u= -1.2 + 1/2.2 -1.1 = 0 Ok - w.v= -1.3+ 1/2.0 + -1.3=0 Ok Então t: (x,y,z)= (1,0,1)+ t.(-1,1/2,-1) Teste: t=-1 na reta s --> Q=(2,-1/2,2) Vejamos se Q pertence ao plano: 2.2-2.1/2+1.2 = 3 Ok Bons estudos, Prof. Marcos Fattibene