Duvída sobre geometria análitica - equação da circunferencia

Professora Regiane L.

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Respondeu há 5 meses

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1) imagine uma circunferência. Agora pegue 2 pontos nessa circunferência e ligue-os, formando uma corda. Se vc ligar o ponto médio dessa corda até o centro da circunferência, o segmento formado pertence a uma reta que é perpendicular à corda.

2) Nesse caso, os 2 pontos da circunferêcia são: A(-4,6) e B(-3,-7). Assim, o ponto médio de AB é M = (A + B)/2 = (-7/2; -1/2).

3) Não sabemos as coordenadas do centro da cirfunferência, mas ela está sobre a reta: y = 3x. Assim, o centro (O) tem coordenadas O(x; -3x).

4) A reta que passa por A e B é dada por: (y - 6)/(x+4) = (-7 - 6)/(-3 + 4) = -13/1 = -13 --> y - 6 = -13x - 52 --> r: 13x + y + 46 = 0.

5) A reta s, perpendicular a r e que passa por M, deve passar pelo centro da circunferência (veja o passo 1). Assim:

s: x - 13y + k = 0. Como M(-7/2, -1/2) pertence a S: -7/2 -13.(-1/2) + k = 0 --> (13 - 7)/2 + k = 0 --> 3 + k = 0 --> k = -3. Logo:

s: x - 13y - 3 = 0. Como essa reta deve passar pelo centro O(x, -3x): x - 13.(-3x) - 3 = 0 --> x + 39x - 3 = 0 --> 40x = 3 --> x = 3/40, logo, y = -3x = -9/40.

Assim, o raio da circunferência é a distância do centro a um dos pontos dela, então: R² = OA² = [(3/40) - (-4)]² + [(-9/40) - 6)²] = (163/40)² + (249/40)² --> R² = (25659 + 62001)/40² = 88570/1600 = 8857/160 = 55,35625. Logo:

--> R ~ 7,44 e a equação da circunferência é: (x - 3/40)² + (y + 9/40)² = 55,356.

Professor Rômulo L.

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Respondeu há 4 meses

Boa tarde Matheus, espero que esteja bem.

Vou explicar por passos como poderíamos resolver esse problema, ou melhor, essa questão.

I) Identificar os dados que a questão fornece:
- Encontrar equação da circunferência (o que a questão pede)
- O centro dela pertence a reta 
- Passa pelos pontos    e 
- Valor do raio com duas casas decimais

II) Encontrar a equação da circunferência
A equação da circunferência pode ser representada de duas formas, a forma reduzida e a forma geral.

A forma reduzida:


A forma geral:

onde,    são coordenadas de pontos pertencentes a circunferências,    são coordenadas do centro da circunferência,    é o raio da circunferência.

Sabendo que o centro dela pertence a reta    então o centro dela vai ser algo do tipo  . Para não confundir com o    dos pontos pertencentes, vamos deixar as coordenadas do centro como  .

Então temos algo do tipo:

III) Sabemos que a circunferência passa pelos pontos    e  , mas não sabemos se esses pontos são colineares com o centro. Então, como sabemos que esses pontos pertencem a mesma circunferência, basta substituirmos (um ponto de cada vez) na forma acima:

Para o ponto    temos:

Para o ponto    temos:

Como ambos pertencem a mesma circunferência, então o raio nas duas tem que dar o mesmo, logo podemos igualar:

Sabendo que  vamos substituir em uma das equações acima para encontrar o valor de  :

IV) Concluímos então que a equação da circunferência será:

e o raio será    que dá aproximadamente .

Espero ter ajudado!