Em um certo dia e horário do ano

Professor Carlos P.

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Respondeu há 1 ano

Olá, Leticia.

Considerando o planeta Vulcan uma esfera perfeita, temos que, se em uma cidade o raio incide perpendicularmente, e na outra cidade o raio solar faz um ângulo de 4.9º com a perpendicular à superfície, o percurso direto pela superficie entre as duas cidades fazem um arco de 4.9º em relação ao centro do planeta conforme a figura abaixo:

raio do planeta.jpg

A distância direta de 330km entre as cidades corresponde a um arco de 4,9º ao longo da superfície do planeta.

Desse modo, podemos calcular a circunferência C do planeta, como segue:

4.9º = 330 km

360º = x

x = (330 * 360)/4.9 =  24244,9km

Sabendo a circunferência, podemos calcular o raio R:

C = 2*pi*R

R = C / (2*pi) = 24244,9 / 6,2832 = 3858.6867km

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode chamar.

Professor Luiz M.

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Respondeu há 1 ano

Olá Letícia. Essa é uma questão similar àquela que Erastósteones resolveu à ~2500 anos atrás quando determinou, de modo acurado, o raio da Terra.

Provando que a mesma não era plana. Uma referência para aprofundamento é a seguinte:

http://www.ime.unicamp.br/~apmat/a-primeira-medicao-do-raio-da-terra/

Uma forma de calcular o raio do planeta Vulcan é considerando a semelhança dos triângulos formados pela sombra na cidade beta e a perpendicular local e pelo arco de circunferência que equivale à distância entre as cidades e o raio da Terra. Note que usando a definição de ângulo central, tem-se,

onde S é o comprimento do arco subentendido pelo ângulo central medido em radianos e R é o raio da circunferência.  Para converter um ângulo em ° para radianos, faz-se, o que segue, 

Na questão em tela ,

E, desse modo,   o raio do planeta vale,

De modo equivalente, pode-se usar a definição de seno de um ângulo central,

Para pequenos ângulos ,que, em nosso caso, resulta,   Havendo uma diferença de,  Entre os dois modos de cálculo.

É isso. Bons estudos e boa sorte.