Equação diferencial -

Question

Uma bola de massa é lançada para cima com velocidade inicial , a partir do terraço de um prédio com metros de altura.

Suponha que exista uma força devido à resistência do ar, com sentido oposto ao da velocidade e de magnitude , sendo a velocidade medida em .

Representando por o módulo da aceleração da gravidade e considerando o sentido "para cima" com o positivo, a 2ª lei de Newton fornece a seguinte equação diferencial:

,

que, com a condição inicial , constitui um problema de valor inicial para .

iniciando em com , esta velocidade decrescerá à medida que a bola sobe, sendo que a velocidade será nula quando a bola atingir sua altura máxima. Determine quando é que isto ocorrerá, isto é, qual é o tempo de subida, .

Depois de ter alcançado a altura máxima, vemos ainda neste gráfico que passa a ser negativa (isso significa que a bola irá descer) e a velocidade passará a aumentar em módulo.

Após obter a expressão para , você também pode determinar a altura na qual a bola se encontra em relação ao solo, em qualquer instante de tempo . Para isso, lembre que , então você tem uma equação diferencial para , além da condição inicial .

Uma vez determinada uma expressão para , a altura máxima atingida pela bola é simplesmente , e, supondo que a bola não bata no prédio ao descer, o instante em que esta bola atingirá o solo é aquele que satisfaz .

A resposta correta é: ; .

Não estou conseguindo chegar nesse resultado

José F. · Accepted Answer

Reorganizando a equação diferencial, a gente tem  Chamando  de , a gente tem  Multiplicando pelo fator integrante , a gente tem  Mas note que o lado esquerdo pode ser escrito como a derivada de um produto:  Intengrando de  até um tempo genérico , temos    A partir daqui, você pode integrar mais uma vez de  até um tempo genérico  para achar , mas para achar o tempo de subida, basta a velocidade, já que em , a velocidade tem que ser zero. Então basta a gente resolver a equação :      Substituido , temos a expressão para o tempo de subida:  Quanto à expressão para , como eu falei, basta integrar a velocidade, mas essa eu deixo para você fazer.

André A. · Answer

Esse é um problema de cinemática com resistência do ar, onde uma bola é lançada para cima com velocidade inicial v0 e altura inicial de 30 metros. A resistência do ar é dada por uma força oposta à velocidade da bola. Podemos usar a segunda lei de Newton para descrever o movimento da bola. A equação diferencial que descreve a velocidade da bola em função do tempo é dada por: m * dv/dt = -mg - (v/30) Onde m é a massa da bola, g é a aceleração da gravidade e v é a velocidade da bola em função do tempo t. Para encontrar o tempo de subida, precisamos encontrar o momento em que a bola alcança sua altura máxima, quando a velocidade é zero. Integrando a equação anterior, obtemos a seguinte expressão para a velocidade da bola em função do tempo: v(t) = (mg * 30) * (1 - e^(-t/(30m))) - v0 * e^(-t/(30m)) Onde e é a constante de Euler. Para encontrar o tempo de subida, basta igualar a velocidade a zero e resolver para t. Isso nos dá: t_subida = 30m * ln(1 + (v0/(30mg))) Para encontrar a altura da bola em função do tempo, podemos integrar a velocidade em relação a t: h(t) = 30[m(v0 + 30mg)(1 - e^(-t/(30m))) - mgt + 30] Onde h é a altura da bola em relação ao solo. A altura máxima é atingida quando a velocidade é zero, ou seja, no tempo de subida t_subida. Isso nos dá a altura máxima: h_max = h(t_subida) = 30[m(v0^2/(2*30mg))] Finalmente, o tempo em que a bola atinge o solo é dado pela solução da equação h(t) = 0. Resolvendo para t, obtemos: t_solo = 30m * ln(1 + (v0/(30mg))) + (v0/3g) Substituindo os valores numéricos, obtemos a resposta correta:?t_subida=30mln{(1+frac{v_{0}}{30mg})}; h(t)=30[m(v_{0}+30mg)(1-e^{-frac{t}{30m}})-mgt+30].