Estou em duvida de como resolver pa e pg

Boa tarde, Érica. é um assunto complicado de responder em um comentário, mas eu gostaria de sugerir a você um vídeo para assistir, e qualquer dúvida, é só retornar aqui. Esses vídeos são muito bem explicados. PA: https://youtu.be/Bv8vRXpvp88 https://youtu.be/DFykbS5Ures https://youtu.be/1C2-PtD8vLc PG: https://youtu.be/IpjQ2HZtMXc https://youtu.be/ysni0wSkRJk https://youtu.be/oGQ_TYuQi1A https://youtu.be/q_AlJ4jX8tg Bons estudos!

Boa tarde Erica. É meio difícil explicar estes assuntos 'verbalmente' à distância, neste caso, por escrito, mas vou tentar. Primeiro precisamos compreender a diferença entre ambos os conceitos PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) PA (Progressão Aritmética) é uma sucessão de SOMAS de mesmo VALOR (SOMA refere-se, neste caso, a valores POSITIVOS e NEGATIVOS) Este mesmo valor que somamos é chamado de RAZÃO e denotado pela letra r. Em PA é importante saber o VALOR inicial da nossa PROGRESSÃO, chamamos este valor de a1 = 1° termo da PA; Outro dado importante é o número de termos que queremos/vamos considerar, damos o nome de n para este dado, e consequentemente, o termo desta posição é chamado de an. Vou esclarecer estas informações com exemplos: Exemplo introdutório: Considere que uma pessoa fará um caminho a pé, por exemplo, ir da sua casa até a escola. O caminho considerado (DISTÂNCIA) será do portão da casa desta pessoa até o portão da escola. Neste caso a posição 1, a1, será quando a pessoa sair do portão. Portanto terá andado a distância ZERO, ou seja, a1 = 0. Vamos supor que o passo desta pessoa seja matematicamente igual e que este passo seja de 50 cm = 0,5 m, portanto a razão r = 0,5 m. Agora, se esta pessoa dá 200 passos para cegar até a escola, qual a distância que ela andou? A resposta é simples, seria 200 . 0,5 = 100 m. Neste caso, o valor de an = 100, porém o n = 201, pois em a1 ela não tinha dado NENHUM passo; em a2 ela tinha dado 1 passo; em a3 tinha dado 2 passos, ... , em a100 tinha dado 99 passos. Note que é sempre o n é sempre um a mais que a quantidade de passos dados, portanto se ela deu 200 passos, a posição era 201. Exemplo Explicativo: Vamos agora considerar uma situação que uma pessoa guardará em um cofre R$ 10 por mês, tendo ganhado um cofre de amigo secreto de NATAL com R$ 50 dentro, portanto ele começará a guardar dinheiro a partir de janeiro de 2016. Temos que a1 = R$ 50 e r = R$ 10 Agora veremos o desenvolvimento ao longo de 1 ano = 12 meses: Janeiro => R$ 60 = R$ 50 + R$ 10 => 50 + 1 . 10 = a2 Fevereiro => R$ 70 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 => 50 + 2 . 10 = a3 Março => R$ 80 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 => 50 + 3 . 10 = a4 Abril => R$ 90 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 => 50 + 4 .10 = a5 Maio => R$ 100 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 => 50 + 5 . 10 = a6 Junho => R$ 110 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 => 50 + 6 . 10 = a7 Julho => R$ 120 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 7 . 10 = a8 Agosto => R$ 130 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 8 . 10 = a9 Setembro => R$ 140 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 9 . 10 = a10 Outubro => R$ 150 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 10 . 10 = a11 Novembro => R$ 160 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 11 . 10 = a12 Dezembro => R$ 170 = R$ 50 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + R$ 10 + ... + R$ 10 => 50 + 12 . 10 = a13 Perceba que o sub índice de a é SEMPRE 1 a mais que o valor que multiplica 10. Com este exemplo, conseguimos compreender a FÓRMULA que determine como encontrar o enésimo termo de uma PA, denominado an, dada por an = a1 + (n - 1).r Portanto, não precisamos fazer todo este desenvolvimento para determinar, por exemplo: 1 - Qual seria a quantia que esta pessoa terá guardado em SETEMBRO de 2018? RESOLUÇÃO: Em SETEMBRO de 2018 terá se passado (12 + 12 + 9) 33 meses, portanto estamos interessado em a34. an = a1 + (n - 1).r a34 = 50 + 33 . 10 => a34 = R$ 380 2 - Após quantos meses esta pessoa terá guardado R$ 310? Note que neste caso NÃO sabemos n, mas sabemos an que é 310 an = a1 + (n - 1).r 310 = 50 + (n - 1) . 10 310 = 50 + 10n - 10 310 = 10n + 40 310 - 40 = 10n 270 = 10n n = 27 meses ( 27/12 = 2 e deixa resto 3) Ou seja, 2 anos e 3 meses = MARÇO de 2018. Com isso, "compreendemos" o desenvolvimento e a "demonstração" INFORMAL da fórmula que determina an. Outra informação importante sobre PA e recorrente em exercícios é a determinação de a1 e n (que são os dois dados mais importantes de PA) através do valor de dois termos em posições diferentes de 1. Por exemplo, Determine a fórmula do termo geral (an) da PA que tem a8 = 22 e a5 = 16. Se formos desenvolver ambos os termos usando a fórmula de an, teremos a8 = a1 + 7r = 22 a5 = a1 + 4r = 16 A princípio teríamos um sistema de equações lineares onde as incógnitas são a1 e r, no entanto é um sistema de fácil resolução, pois a8 - a5 = (a1 + 7r ) - (a1 + 4r ) = 3r = 6 (22 - 16), LOGO r = 3. Substituindo r = 3 em qualquer um dos termos a5 ou a8, obtemos que a1 = 4. Portanto, a fórmula do termo geral desta PA é dada por an = 4 + (n - 1).3 Conclusão: Toda vez que tivermos dois termos de uma P. A. a DIFERENÇA (MAIOR - MENOR) entre as posições destes termos é igual a quantidade de razões que "somamos" para sair do MENOR e chegar no MAIOR estes termos. Esta conclusão nos auxilia em resolver problemas de P. A. que se tornariam mais complicados sem este conhecimento. Vejamos um exemplo: Senhor Juvenal tem uma cerca e colocará rosas, pelo lado de dentro, a uma distância fixa uma da outra. Ao colocar as rosas perceber que a 7ª rosa ficou a uma distância de 6,8 m do portão, situado em um dos cantos, depois de colocar mais algumas rosas, percebeu que a 11ª rosa tinha ficado a 8 m deste portão. Determine a que distância do portão foi colocado a 1ª rosa. Resolução: Note que não conhecemos a1 tão pouco r assim como no exemplo, porém, usando o resultado temos que a distância entre a 11ª rosa e a 7 ª rosa é (8,0 - 6,8) 1,2 = 4r (11 - 7) => r = 0,3 m Agora para determinar a1 podemos usar a7 ou a11 Note que a7 = a1 + 6r e a11 = a1 + 10r Geralmente usamos o MENOR termo, mas os valores de a11 são melhores, neste caso específico, pois faremos 10r (multiplicar por 10 é tranquilo). Portanto usemos a11 a11 = a1 + 10r 8 = a1 + 10 . 0,3 8 = a1 + 3 => a1 = 5 m RESPOSTA: A primeira rosa foi plantada a uma distância de 5 metros do portão. Por fim, ainda sobre PA temos a fórmula para determinar a soma de n termos de uma PA, que preza a HISTÓRIA foi desenvolvida pelo grande gênio "matemático" Carl Friedrich GAUSS quando ainda estudava no primário com 7 ou 8 anos que, particularmente, acho incrível e sempre demonstro em sala de aula. Conta a HISTÓRIA que um(a) professor(a) para manter seus alunos ocupados, evitando a bagunça, pediu para que estes somassem os números de 1 até 100. Pouco tempo depois, uma das crianças levantou a mão e respondeu: "5050, professor(a)!" Espantado(a) o professor pediu para que ele explicasse o raciocínio. Gauss foi a lousa e escreveu algo parecido com isso: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 e disse: "Simples, professor(a), eu juntei o primeiro valor com o último, o segundo com o penúltimo e, assim por diante, formei 50 parcelas cuja soma era 101 e depois fiz 101 . 5 e acrescentei o ZERO no final, obtendo assim o número 5050." Ou seja, (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + (5 + 96) + (6 + 95) + (7 + 94) + ... + (50 + 51) Todas somam 101, temos 50 parcelas, portanto 50 x 101 = 5050. Desta forma desenvolveu a fórmula da soma dos n termos de uma PA, Sn, dada por Sn = [(a1 + an).n]/2 Note que a fórmula não tem nenhum termo que não falamos até então, portanto vamos para um exemplo de aplicação. Exemplo de Aplicação: Guilherme está tentando junto o útil ao agradável, emagrecer de forma saudável praticando atividades físicas, para isso resolver correr 100 m a mais que no dia anterior todos os dias da semana. Toda segunda-feira ele começará correndo 2 500 m e manterá o acréscimo até o domingo. Pergunta-se: Qual a distância total que Guilherme percorrerá em uma semana? Temos que a1 = 2 500 m e r = 100 m Precisamos determinar a distância que correrá no DOMINGO, a7 e usar a fórmula de Sn a7 = a1 + 6r => a7 = 2 500 + 6 . 100 => a7 = 3 100 m S7 = DISTÂNCIA TOTAL = [(a1 + a7).7]/2 S7 = [(2 500 + 3 100) . 7]/2 => S7 = [(5600) . 7]/2 = 19600 m PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Progressão Geométrica (PG) é um sucessão de MULTIPLICAÇÕES de mesmo VALOR (MULTIPLICAÇÃO entenda como possíveis DIVISÕES quando a razão está entre -1 e 1 sendo diferente de ZERO, geralmente, usamos PG com razão POSITIVA e nos casos de DIVISÃO entre 0 e 1). Igualmente em PA, o valor que multiplicamos em PG é chamado de RAZÃO, mas usamos a letra q. O primeiro termo é chamado de a1. O termo geral também é denotado por an, mas em PG é dado por an = a1.q^(n-1) Vamos a um exemplo para identificação e uso dos termos: Um vírus está infestando as pessoas de uma cidade de maneira que a cada hora 10 novos habitantes são infectados e cada habitante infectado acaba infectando 10 novos habitantes. Determine o número de pessoas infectadas após 5 horas sabendo que inicialmente foram infectadas 5 pessoas. Resolução: Pelos dados temos que: a1 = 5; q = 10; n = 6 (Lembre-se: Neste caso, n - 1 = 5) Portanto, a6 = a1.q^5 a6 = 5 . 10^5 a6 = 5 . 100 000 = 500 000 pessoas estarão infectadas daqui a 5 horas. Note que poderíamos fazer desenvolvendo que nem PA, ou seja, a1 = 5 a2 = 5 . 10 = 50 a3 = 5 . 10 . 10 = 500 a4 = 5 . 10 . 10 . 10 = 5 000 a5 = 5 . 10 . 10 . 10 . 10 = 50 000 a6 = 5 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 500 000 Note que a quantidade de 10 é SEMPRE um a MENOS que o valor sub índice de a. A SOMA dos n termos de uma PG é mais complicada pois temos 2 casos: PG finita com q > 1 (Geralmente) Sn = [a1.(q^(n) - 1)] / (q - 1) PG infinita com 0 < q < 1 Sn = a1 / (1 - q) Terminarei com um exemplo de cada SOMA PG FINITA a1 = 2; q = 2. Soma dos 10 primeiros termos da PG S10 = 2.(2^10 - 1) / (2 - 1) S10 = 2.(1024 - 1) / 1 S10 = 2 . 1023 = 2046. SOMA PG INFINITA a1 = 256, q = 1/2; Soma dos infinitos termos S infinito = 256 / (1 - 1/2) S infinito = 256 / (1/2) S infinito = 512 Espero ter ajudado, mas sinceramente, com o perdão do trocadilho, "O professor DANNY FRANÇA, não é PA nem PG, mas tem toda a RAZÃO!" BONS ESTUDOS!