Por um ponto P externo a um círculo, são traçadas as duas tangentes ao círculo. Os pontos de tangência, Q e R, dividem o círculo em dois arcos cujos comprimento

Professor Renato A.

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Respondeu há 9 anos

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Olá, Paloma.

Vamos usar a seguinte figura como referência (desculpe pela qualidade, posso fazer uma mais elaborada se não estiver claro a partir dessa):

http://postimg.org/image/5fsedlbaj/

r, l1, l2 denotam o comprimemento do raio, e dos dois arcos, recpectivamente.
C denota o centro da circunferência.

A estratégia é descobrir a medida do ângulo β para depois descobrirmos o ângulo de interesse, α.

Farei todas as contas em radianos e transformarei em graus apenas no final, tudo bem?

Podemos calcular o l1 e l2 em termos de β pelas seguintes expressões:

l1 = β . r
l2 = (2π - β) . r

Mas como é dado que l1 / l2 = 3/7, obtemos uma equação para β:

β/(2π - β) = 3/7. Resolvendo essa equação, obtemos:

β = 3π/5

Olhando agora para o triângulo CPR.

É fácil ver que o ângulo CRP é reto, pois o segmento PR está contido numa tangente. Além disso, por simetria, o segmento CP é bissetriz dos dois ângulos, α e β.

Assim, sabendo que os ângulos internos de um triângulo devem resultar em π quando somados, podemos escrever:

α/2 + β/2 + π/2 = π

Como conhecemos o valor de β, isso é uma equação para α, que, se resolvida, nos dá o valor α = 2π/5

Convertendo isso em graus (usando, por exemplo, π radianos = 180º), obtemos exatamente α = 72º.

Se não tiver ficado claro, façe comigo que eu tento explicar melhor.

Espero ter ajudado.
Abraço!