Resolução e compreensão

Question

1. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial v. Mostre que se x +y = x+z então y = z

2.mostre que o conjunto de combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com operações usuais.

Lucas G. · Answer

Uma outra possível interpretação do que se quis dizer na segunda pergunta seria a de que o subconjunto $U := \{ax+by\in \mathbb{R}[x, y]\, ;\, a, b\in \mathbb{R}\}$ do anel de polinômios $V := \mathbb{R}[x, y]$ de coeficientes reais nas duas variáveis $x, y$ é um espaço vetorial.

O próprio anel $V$ é um espaço vetorial sobre os números reais.

Pode-se provar que $U$ é espaço vetorial diretamente, checando propriedade por propriedade de espaço vetorial, ou utilizar a seguinte proposição bastante útil:

Proposição. Um subconjunto $S$ de um espaço vetorial $W$ é um subespaço vetorial (em particular, é um espaço vetorial) se, e somente se, $v+aw \in S$ para todos $v, w \in S$ e todo escalar $a$ .

Assim, dados $ax+by, cx+dy \in U$ e $e$ um escalar, temos $(ax+by)+e(cx+dy) = (a+ec)x + (b+ed)y \in U$ e portanto a Proposição garante que $U$ é subespaço de $V$ , em particular é um espaço vetorial.

Essa proposição não é difícil de se provar, basta checar os requisitos de espaço vetorial um a um, é mais um exercício útil a quem está começando no assunto.

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