Teoria dos números prove

Professora Regiane L.

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Respondeu há 6 meses

1) Para um número ser divisíve por 8, 11 e 12, então ele tem que ser divisível pelo mmc desses 3 números, logo, ele deve ser da forma x = 8.11.3.k = 264k. Como o número deve ter 3 algarismos, então ele deve ser: 101 <= x = 264k <= 999 --> k = {1,2,3}. Assim: n = 264, 528 ou 792.

2) Suponha que exista n, tal que: 7|(4n²-3), então 7|(4n²-3) + 7 = (4n²+4) = 4(n²+1). Assim, como 4 não é divisível por 7, 7|(n² + 1). Assim, existe k inteiro, tal que: n²+1 = 7k --> n² = 7k - 1 = 7(k-1) + 6. Logo, n² deve deixar resto 6 na divisão por 7. Então, tomando n = 7n' + r, onde r é o resto da divisão de n por 7 --> n² = 7(7n'² + 2n') + r². Logo, n² deixará r² de resto na divisão por 7. Assim, se:

r = 0 --> r² = 0 --> n² deixará resto 0 na divisão por 7.

r = 1 ou 6 --> r² = 1 ou 36 --> n² deixará resto 1 na divisão por 7.

r = 2 ou 5 --> r² = 4 ou 25 --> n² deixará resto 4 na divisão por 7.

r = 3 ou 4 --> r² = 9 ou 16 --> n² deixará resto 2 na divisão por 7.

Logo, independetemente do valor de r, n² nunca deixará resto 6 na divisão por 7.

Portanto, não existe n inteiro, tal que 7|(4n² - 3).

Professora Julia T.

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Respondeu há 6 meses

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Professor José F.

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Respondeu há 6 meses

1. Se um número é divisível por 8, 11 e 12 ao mesmo tempo, significa que ele é um múltiplo comum de 8, 11 e 12. O menor desses múltiplos é o mínimo múltiplo comum:

Todos os outros múltiplos comuns de 8, 11 e 12 são múltiplos do mmc, portanto os números são: , e . O próximo já teria 4 algarismos.

2. Essa eu vou resolver usando congruência, que é uma espécie de um superpoder em teoria dos números. Se você não souber esse assunto, eu posso lhe dar uma aula. Todas as congruências abaixo são . Há sete possibilidades para um número inteiro qualquer :

.

Elevando ao quadrado, temos as seguintes possibilidades:

Multiplicando por 4 e subtraindo 3, temos as seguintes possibilidades:

Logo, é impossível que seja congruente a zero, módulo 7. Em outras palavras, nunca é divisível por .