Um paralelogramo ABC tem diagonais medindo 2*raiz(7) cm e 2*raiz(19) cm, e um dos ângulos internos medindo 60°. A medida, em cm, do maior lado de ABCD é?

Professora Aruana C.

Respondeu há 10 anos

Juliana, tenta desenhar o paralelogramo e localizar seus ângulos internos. Você poderá usar a lei dos cossenos, vendo que a diagonal menor está em oposição ao menor ângulo interno (que é 60°) e a diagonal maior em oposição ao maior ângulo interno (que é 120°). Veja se consegue agora. Abraço!

edit: Pode postar a resolução prof. Jairo, problema nenhum ^^

Professor Jairo M.

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Respondeu há 10 anos

Mas tente um pouquinho!

Obrigado Professora Aruana! 

 Solução:

Se é um paralelogramo AB = DC e AD = BC. Fazendo AB = DC = x e AD = BC = x

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD, temos:

 (2√7)²=x²+ y² –2.x.y.cos60° ==> (4.7)=x²+ y² –x.y ==>     28=x2 +y2 –x.y  (1)

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo BDC, temos:

 (2√19)²=x²+ y² –2.x.y.cos120° ==>(4.19) =x²+ y² + .x.y ==> 76=x2+y2+x.y   (2)

 Fazendo (2) – (1) temos: 48=2x.y ==> x.y=24 ==> y=24/x   (3)

Substituindo (3) em (1) ==> 28=x²+(24/x)²– x.(24/x)  ==> 28=x²+576/x² – 24 ==> 52=x²+576/x² ==>52x² =x^4+576 ==>

x^4 – 52x² +576=0 (Umaequaçãobiquadrada) Cálculo do ?.  ?=(-52)² - 4.1.576 ==> ?=2704–2304==>?=400 e √?=±20.

 x=√((52±20)/2) ==>x1=√((52+20)/2) ==> x1 = √36 ==> x1=6cm

 x2=√((52-20)/2) ==> x2 =√16 ==>x2=4cm 

 O problema não informa, mas pela resposta dada por você, quer o lado maior, assim x=6cm

Lembre-se: para x=6 ==> y = 4 e para x=4 ==> y=6, pois  y=24/x.

Espero ter ajudado!