As doze bolinhas
Por: William A.
02 de Abril de 2022

As doze bolinhas

Matemática Lógica informal
 
 
Sempre gostei de problemas lógicos e um particularmente interessante é o problema das doze bolinhas. O enunciado é simples, mas a solução não é tão simples assim.
 
Imagine que você tenha doze bolinhas, visualmente idênticas. Uma delas, porém, possui um peso diferente das demais – pode ser mais leve ou mais pesada. Além dela, todas as outras onze possuem exatamente o mesmo peso. Você tem à sua disposição uma balança com dois pratos. Para cada medida da balança, você pode colocar quantas bolinhas quiser nesses dois pratos. Se um dos pratos estiver mais pesado que o outro, esse prato mais pesado penderá para baixo. Como você determinaria qual das bolinhas tem o peso diferente fazendo, no máximo, três medidas com essa balança?
 
À primeira vista não parece complicado, né? Tente resolver e depois volte aqui.
 
Já de volta? Bem, talvez você seja mais inteligente do que eu e não tenha achado tão difícil, mas eu, pessoalmente, demorei um pouco para solucionar. A solução que considero é a seguinte:
 
Chame as bolinhas por A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K e L. Separe as bolinhas em três grupos de quatro bolinhas: ABCD, EFGH e IJKL. Feito isso, compare ABCD com IJKL em sua primeira medição. Teremos dois cenários possíveis.
 
Primeiro cenário: os pratos se equilibram
 
Se os pratos se equilibrarem, então ABCD e IJKL possuem apenas bolinhas de mesmo peso. Isso indica que EFGH é o grupo com a bolinha suspeita. Separe EFGH em uma razão de três para um, digamos, EFG e H. Daí, compare EFG com três bolinhas que você sabe terem o mesmo peso (digamos, ABC) na segunda medição. Se EFG e ABC  se equilibrarem, então H é a bolinha intrusa e não precisamos de uma terceira medição. Por outro lado, se EFG e ABC não se equilibrarem, note se o prato de EFG ficou mais leve ou mais pesado. Suponha que tenha ficado mais pesado. Feito isso, faça uma terceira medição com duas bolinhas de EFG, digamos, E e F. Se os pratos se equilibrarem, G é a intrusa. Se não se equilibrarem, a bolinha diferente estará no prato mais pesado (se EFG ficou mais leve na segunda medição, ela estará no prato mais leve).
 
Segundo cenário: os pratos não se equilibram
 
Se os pratos não se equilibrarem, então um desses dois grupos ABCD ou IJKL ficou mais pesado. Suponha que o mais pesado tenha sido ABCD, indicando que há uma bolinha mais pesada em ABCD ou uma bolinha mais leve em IJKL. Retire três bolinhas do prato mais pesado (digamos, ABC) e troque-as por três bolinhas do prato mais leve (digamos, IJK), colocando três bolinhas que não foram medidas na primeira medição (digamos, EFG) no lugar delas. Assim, para a segunda medição, teremos uma comparação entre IJKD e EFGL. Se o lado IJKD que estava mais pesado na primeira medição continuar mais pesado, então ou D é uma bolinha mais pesada ou L é uma bolinha mais leve, bastando agora fazer a terceira medição comparando uma das duas com qualquer bolinha de EFGH para determinar a intrusa. Agora se o lado IJKD ficar mais leve, então uma bolinha intrusa mais leve está em IJK, bastando agora fazer a terceira medição comparando duas bolinhas de IJK para determinar a intrusa (o lado mais leve terá a bolinha diferente, mas se os pratos se equilibrarem, então a bolinha que ficou de fora é a intrusa). Por fim, os lados IJKD e EFGL podem se equilibrar. Nesse caso, uma intrusa mais pesada está entre as três bolinhas A, B e C que deixamos de fora da segunda medição, bastando agora realizar uma terceira medição entre duas delas para determinar essa intrusa (o lado mais pesado será a bolinha diferente, mas se os pratos se equilibrarem, então a bolinha que ficou de fora é a intrusa).
 
O primeiro cenário não é tão difícil de pensar, mas o segundo cenário me tomou um bom tempo. No fim, tive que procurar a resolução e essa foi a que consegui entender melhor. E você? Conseguiu resolver sozinho?

William A.

Guarulhos / SP
Doutorado: Filosofia da Ciência (USP (Universidade de São Paulo))
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