Como Encontrar Vértice, Foco e Diretriz

As funções quadráticas, ou funções de 2º grau, têm um papel fundamental no estudo da matemática, sendo aplicadas em diversas áreas, como física, economia e até em situações do cotidiano. Um dos aspectos mais importantes das funções quadráticas é entender a representação gráfica delas, ou seja, como a parábola se comporta, e o que seus componentes representam. Neste artigo, você vai aprender passo a passo como encontrar o vértice, o foco e a diretriz de uma função quadrática.

🔹 O que é uma Função Quadrática?

Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2, representada pela expressão:
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
Onde $a$, $b$ e $c$ são constantes e a≠0a \neq 0a=0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que pode ser voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor de $a$.

A função quadrática também é chamada de função de segundo grau, e seu gráfico tem várias propriedades que podem ser analisadas, como o vértice, o foco e a diretriz, os quais são fundamentais para entender o comportamento da parábola.

🔹 O Vértice da Parábola

O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo se ela está voltada para cima ou para baixo. Para encontrar o vértice, usamos a fórmula:

xv=−b2ax_v = \frac{-b}{2a}xv​=2a−b​

Onde xvx_vxv​ é a coordenada $x$ do vértice. Substituindo esse valor na equação original, encontramos a coordenada yvy_vyv​ do vértice, ou seja, o valor da função em xvx_vxv​.

Exemplo:
Dada a função quadrática:
f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1f(x)=2x2−4x+1

Passo 1: Calcule a coordenada xvx_vxv​ do vértice:
xv=−(−4)2(2)=44=1x_v = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1xv​=2(2)−(−4)​=44​=1

Passo 2: Substitua xv=1x_v = 1xv​=1 na equação original para encontrar yvy_vyv​:
f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1

Resposta: O vértice da parábola é o ponto $(1,-1)$.

🔹 O Foco e a Diretriz

O foco e a diretriz são componentes importantes na descrição geométrica da parábola. O foco é um ponto fixo dentro da parábola, e a diretriz é uma reta que fica "fora" da parábola. A equação da parábola pode ser usada para calcular as coordenadas do foco e a posição da diretriz.

Para uma parábola com a equação na forma y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k (onde $(h,k)$ é o vértice), a fórmula do foco e da diretriz são dadas por:

• Foco: (h,k+14a)(h, k + \frac{1}{4a})(h,k+4a1​)

• Diretriz: y=k−14ay = k - \frac{1}{4a}y=k−4a1​

Exemplo:
Para a equação y=2(x−1)2−1y = 2(x - 1)^2 - 1y=2(x−1)2−1 (parábola com vértice em $(1,-1)$):

Passo 1: Identifique $a=2$, $h=1$, e $k=-1$.

Passo 2: Calcule a posição do foco e da diretriz:

• Foco:
  (h,k+14a)=(1,−1+14(2))=(1,−1+18)=(1,−78)(h, k + \frac{1}{4a}) = (1, -1 + \frac{1}{4(2)}) = (1, -1 + \frac{1}{8}) = (1, -\frac{7}{8})(h,k+4a1​)=(1,−1+4(2)1​)=(1,−1+81​)=(1,−87​)

• Diretriz:
  y=k−14a=−1−14(2)=−1−18=−98y = k - \frac{1}{4a} = -1 - \frac{1}{4(2)} = -1 - \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}y=k−4a1​=−1−4(2)1​=−1−81​=−89​

Resposta: O foco da parábola é (1,−78)(1, -\frac{7}{8})(1,−87​), e a diretriz é a reta y=−98y = -\frac{9}{8}y=−89​.

🔹 Passo a Passo para Encontrar o Vértice, Foco e Diretriz

1. Identifique os coeficientes da equação quadrática:
   A equação quadrática precisa estar na forma padrão y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c.

2. Calcule as coordenadas do vértice:

   • Use a fórmula xv=−b2ax_v = \frac{-b}{2a}xv​=2a−b​ para encontrar a coordenada $x$.

   • Substitua esse valor na equação original para encontrar yvy_vyv​.

3. Encontre o foco e a diretriz:

   • Para a parábola com vértice $(h,k)$ e equação y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k, calcule o foco usando a fórmula (h,k+14a)(h, k + \frac{1}{4a})(h,k+4a1​) e a diretriz com y=k−14ay = k - \frac{1}{4a}y=k−4a1​.

🔹 Dicas para Não Errar

• Verifique os sinais de $a$: Se $a>0$, a parábola está voltada para cima e se $a<0$, a parábola está voltada para baixo.

• Cuidado com a aplicação da fórmula: Ao substituir valores na fórmula, verifique se está seguindo a ordem correta e aplicando as operações corretamente.

• Considere o formato da equação: Se a equação não estiver na forma y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k, pode ser necessário reescrevê-la para calcular foco e diretriz corretamente.

🔹 Exercício para Praticar

Considere a função quadrática:
y=−3(x−2)2+5y = -3(x - 2)^2 + 5y=−3(x−2)2+5

Passo 1: Encontre o vértice.
Passo 2: Calcule o foco e a diretriz.

💡 Conclusão

Encontrar o vértice, o foco e a diretriz de uma função quadrática é essencial para entender o comportamento da parábola e suas propriedades geométricas. Com a prática e a aplicação das fórmulas, você será capaz de analisar e resolver problemas envolvendo funções quadráticas com facilidade.