Propriedades das Funções Quadráticas

Funções quadráticas são essenciais para a matemática e estão presentes em diversos problemas do mundo real, como trajetórias de objetos e otimização de lucros. Entender as propriedades das funções do 2º grau, como a abertura da parábola, o vértice e a simetria, facilita muito o processo de resolução e interpretação desses problemas. Neste artigo, você vai aprender passo a passo como identificar e trabalhar com essas propriedades, com explicações detalhadas e exemplos resolvidos.

🔹 O que é uma Função Quadrática?

Uma função quadrática é uma função do tipo:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são constantes;

• $x$ é a variável que queremos encontrar ou estudar.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, e conhecer suas propriedades é crucial para entender seu comportamento e resolver problemas envolvendo essa função.

🔹 Propriedades das Funções Quadráticas

Uma função quadrática tem várias propriedades que podem ser observadas diretamente no gráfico. Vamos focar em três aspectos principais: a abertura da parábola, o vértice e a simetria.

Passo a Passo para Entender as Propriedades

Passo 1: Abertura da Parábola

A abertura da parábola depende do valor de $a$ (o coeficiente de x2x^2x2):

• Se $a>0$, a parábola abre para cima.

• Se $a<0$, a parábola abre para baixo.

Exemplo 1:

f(x)=2x2+4x+1f(x) = 2x^2 + 4x + 1f(x)=2x2+4x+1

Neste caso, $a=2$, portanto, a parábola abre para cima.

Exemplo 2:

f(x)=−3x2+5x−2f(x) = -3x^2 + 5x - 2f(x)=−3x2+5x−2

Aqui, $a=-3$, então a parábola abre para baixo.

Passo 2: O Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto mais baixo (se a parábola abre para cima) ou o ponto mais alto (se a parábola abre para baixo). O vértice pode ser encontrado com a fórmula:

xveˊrtice=−b2ax_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a}xveˊrtice​=2a−b​

Substituindo o valor de xveˊrticex_{\text{vértice}}xveˊrtice​ na função, você encontra o valor de yveˊrticey_{\text{vértice}}yveˊrtice​.

Exemplo 3:
Para a equação f(x)=2x2+4x+1f(x) = 2x^2 + 4x + 1f(x)=2x2+4x+1, temos $a=2$ e $b=4$.

xveˊrtice=−42(2)=−44=−1x_{\text{vértice}} = \frac{-4}{2(2)} = \frac{-4}{4} = -1xveˊrtice​=2(2)−4​=4−4​=−1

Agora, substituímos $x=-1$ na função para encontrar yveˊrticey_{\text{vértice}}yveˊrtice​:

f(−1)=2(−1)2+4(−1)+1=2−4+1=−1f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1f(−1)=2(−1)2+4(−1)+1=2−4+1=−1

Portanto, o vértice é o ponto $(-1,-1)$.

Passo 3: A Simetria da Parábola

A parábola possui simetria em torno da reta vertical que passa pelo vértice, chamada de reta de simetria. Essa reta tem a equação:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​

Ou seja, o valor de xveˊrticex_{\text{vértice}}xveˊrtice​ também é o valor da reta de simetria.

Exemplo 4:
Para a equação f(x)=−3x2+5x−2f(x) = -3x^2 + 5x - 2f(x)=−3x2+5x−2, temos $a=-3$ e $b=5$.

xveˊrtice=−52(−3)=−5−6=56x_{\text{vértice}} = \frac{-5}{2(-3)} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}xveˊrtice​=2(−3)−5​=−6−5​=65​

A reta de simetria é x=56x = \frac{5}{6}x=65​, e todos os pontos na parábola serão simétricos em relação a essa reta.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Abertura da Parábola

Equação:

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3f(x)=x2−4x+3

• Valor de $a$: $a=1$, então a parábola abre para cima.

Exemplo 2: Vértice e Simetria

Equação:

f(x)=−2x2+4x−1f(x) = -2x^2 + 4x - 1f(x)=−2x2+4x−1

1. Vértice:

xveˊrtice=−42(−2)=−4−4=1x_{\text{vértice}} = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1xveˊrtice​=2(−2)−4​=−4−4​=1

Substituindo $x=1$ na função:

f(1)=−2(1)2+4(1)−1=−2+4−1=1f(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1f(1)=−2(1)2+4(1)−1=−2+4−1=1

O vértice é $(1,1)$.

2. Reta de Simetria:
   A reta de simetria é $x=1$.

Dicas para Não Errar

1. Sempre verifique o sinal de $a$: O sinal de $a$ define a direção da abertura da parábola (para cima ou para baixo).

2. Lembre-se de calcular o vértice corretamente: Não esqueça de aplicar a fórmula para xveˊrticex_{\text{vértice}}xveˊrtice​ e substituir corretamente na equação para encontrar yveˊrticey_{\text{vértice}}yveˊrtice​.

3. A reta de simetria sempre passará pelo xveˊrticex_{\text{vértice}}xveˊrtice​, facilitando o desenho da parábola.

4. Verifique a concavidade: Se a parábola abrir para cima, o vértice será o ponto mais baixo, e se abrir para baixo, será o ponto mais alto.

Exercícios Propostos

1. Encontre o vértice e a simetria da função f(x)=3x2+6x−4f(x) = 3x^2 + 6x - 4f(x)=3x2+6x−4.

2. Determine as propriedades da função f(x)=−x2+2x+3f(x) = -x^2 + 2x + 3f(x)=−x2+2x+3.

3. Calcule o vértice da equação f(x)=−4x2+8x+5f(x) = -4x^2 + 8x + 5f(x)=−4x2+8x+5.

Conclusão

Entender as propriedades das funções quadráticas é essencial para dominar a matemática algébrica. Saber como identificar a abertura da parábola, calcular o vértice e utilizar a simetria permite uma compreensão mais profunda do comportamento da função e facilita a resolução de problemas.

Com esses conceitos, você estará pronto para trabalhar com funções quadráticas em diversos contextos, desde problemas de otimização até questões do cotidiano.