Como Resolver Problemas Reais com Funções Quadráticas

Resolver problemas do cotidiano utilizando funções do 2º grau pode parecer complicado à primeira vista, mas quando seguimos uma sequência lógica, o processo se torna simples e aplicável. Neste artigo, você vai aprender como usar funções quadráticas para resolver situações práticas, como o cálculo de distâncias, lucros, e movimento de projéteis, com explicações didáticas e exemplos resolvidos.

🔹 O que é uma Função do 2º Grau?
Uma função do 2º grau é uma expressão matemática na qual a variável aparece elevada à segunda potência (expoente 2). Ela segue a forma geral:
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
Onde:

• a, b, e c são coeficientes constantes.

• x é a variável.

O objetivo é usar a função para modelar e resolver problemas do mundo real.

🔹 Aplicando Funções do 2º Grau em Problemas do Mundo Real
Funções quadráticas são frequentemente usadas para modelar situações em que há uma relação entre duas variáveis, como em problemas de movimento de projéteis, distâncias e lucros. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que pode representar trajetórias de objetos lançados, lucros de empresas, ou até a maximização de recursos.

Exemplo 1: Cálculo de Distância de um Objeto em Movimento

Equação:
d(t)=−5t2+20t+10d(t) = -5t^2 + 20t + 10d(t)=−5t2+20t+10
Onde:

• d(t) é a distância (em metros),

• t é o tempo (em segundos),

• -5, 20, e 10 são coeficientes.

Passo 1: Identificar o que cada parte da equação representa:

• O termo -5t² indica que a distância diminui com o tempo (movimento acelerado para baixo),

• O termo 20t representa a velocidade inicial do objeto,

• O 10 é a posição inicial do objeto.

Passo 2: Resolver para encontrar o tempo em que o objeto atinge a distância máxima.
A distância máxima ocorre no vértice da parábola, que pode ser encontrado pela fórmula:
t=−b2at = \frac{-b}{2a}t=2a−b​
Substituindo a = -5 e b = 20:
t=−202(−5)=−20−10=2t = \frac{-20}{2(-5)} = \frac{-20}{-10} = 2t=2(−5)−20​=−10−20​=2

Passo 3: Substitua o valor de t = 2 na equação original para encontrar a distância máxima:
d(2)=−5(2)2+20(2)+10d(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 10d(2)=−5(2)2+20(2)+10
$d(2)=-5(4)+40+10$
$d(2)=-20+40+10=30$

Resposta:
O objeto atinge a distância máxima de 30 metros após 2 segundos.

Exemplo 2: Maximização de Lucro de uma Empresa

Equação:
L(x)=−2x2+12x−4L(x) = -2x^2 + 12x - 4L(x)=−2x2+12x−4
Onde:

• L(x) é o lucro da empresa,

• x é o número de produtos vendidos.

Passo 1: Identificar a relação entre os termos:

• O -2x² indica que o lucro diminui se o número de produtos vendidos aumentar muito (diminuição no lucro após um certo ponto),

• O 12x representa o aumento no lucro conforme os produtos são vendidos.

Passo 2: Encontrar o número de produtos que maximiza o lucro.
Como a função é uma parábola voltada para baixo (o coeficiente de x² é negativo), a maximização do lucro ocorre no vértice da parábola. Para isso, usamos novamente a fórmula:
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​
Substituindo a = -2 e b = 12:
x=−122(−2)=−12−4=3x = \frac{-12}{2(-2)} = \frac{-12}{-4} = 3x=2(−2)−12​=−4−12​=3

Passo 3: Substitua o valor de x = 3 na equação para encontrar o lucro máximo:
L(3)=−2(3)2+12(3)−4L(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 4L(3)=−2(3)2+12(3)−4
$L(3)=-2(9)+36-4$
$L(3)=-18+36-4=14$

Resposta:
O lucro máximo é 14 unidades monetárias quando a empresa vende 3 produtos.

Exemplo 3: Movimento de um Projétil

Equação:
h(t)=−4.9t2+20t+5h(t) = -4.9t^2 + 20t + 5h(t)=−4.9t2+20t+5
Onde:

• h(t) é a altura do projétil (em metros),

• t é o tempo (em segundos),

• -4.9 é a aceleração devido à gravidade.

Passo 1: Identificar a relação dos termos:

• O -4.9t² representa a aceleração devido à gravidade que puxa o projétil para baixo,

• O 20t é a velocidade inicial para cima,

• O 5 é a altura inicial de onde o projétil é lançado.

Passo 2: Encontrar o tempo no qual o projétil atinge a altura máxima.
Usando a fórmula do vértice:
t=−b2at = \frac{-b}{2a}t=2a−b​
Substituindo a = -4.9 e b = 20:
t=−202(−4.9)=−20−9.8=2.04t = \frac{-20}{2(-4.9)} = \frac{-20}{-9.8} = 2.04t=2(−4.9)−20​=−9.8−20​=2.04

Passo 3: Substitua t = 2.04 na equação para encontrar a altura máxima:
h(2.04)=−4.9(2.04)2+20(2.04)+5h(2.04) = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04) + 5h(2.04)=−4.9(2.04)2+20(2.04)+5
$h(2.04)=-4.9(4.16)+40.8+5$
$h(2.04)=-20.38+40.8+5=25.42$

Resposta:
A altura máxima atingida pelo projétil é 25.42 metros após 2.04 segundos.

Dicas para Não Errar ao Resolver Funções Quadráticas em Problemas do Mundo Real:

1. Identifique o contexto da equação: Verifique sempre o que cada termo da equação representa no problema.

2. Use o vértice para maximização ou minimização: Lembre-se que a fórmula do vértice é fundamental para encontrar o ponto máximo ou mínimo da parábola.

3. Verifique suas unidades: Quando for resolver problemas do mundo real, sempre fique atento às unidades de medida (segundos, metros, unidades monetárias, etc.).

4. Pratique com diferentes tipos de problemas: Quanto mais problemas você resolver, mais fácil será aplicar funções do 2º grau em situações reais.

Conclusão
As funções do 2º grau são ferramentas poderosas para modelar e resolver problemas do mundo real, como trajetórias de projéteis, lucros de empresas e muito mais. Ao entender como aplicar essas funções em situações práticas, você será capaz de abordar uma vasta gama de problemas matemáticos com confiança.

Agora, com esses exemplos e dicas, você pode começar a resolver problemas reais usando funções quadráticas!