Como Variar Coeficientes em Funções Quadráticas

Estudar como os coeficientes de uma função quadrática afetam o comportamento da parábola pode parecer complexo no começo, mas com uma abordagem estruturada, você verá que é possível compreender rapidamente as mudanças que ocorrem. O segredo está em entender como cada coeficiente da função quadrática impacta as propriedades da parábola, como sua abertura, posição e direção.

Neste artigo, você aprenderá como as variações nos coeficientes da função quadrática influenciam o gráfico da função e a solução das equações associadas, com explicações claras e exemplos resolvidos.

🔹 O que é uma Função Quadrática?

Uma função quadrática é uma função polinomial do segundo grau, representada por:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são coeficientes.

• $x$ é a variável.

• $f(x)$ é o valor da função para um dado valor de $x$.

O objetivo ao estudar funções quadráticas é entender como esses coeficientes influenciam o gráfico (que é uma parábola) e suas propriedades.

🔹 Como os Coeficientes Influenciam a Função Quadrática?

1. Coeficiente $a$:
   O coeficiente $a$ determina a abertura da parábola e sua direção.

   • Se $a>0$, a parábola abre para cima.

   • Se $a<0$, a parábola abre para baixo.

   • Quanto maior o valor de $a$ (em módulo), mais "fechada" será a parábola.

   • Quanto menor o valor de $a$ (em módulo), mais "aberta" será a parábola.

2. Coeficiente $b$:
   O coeficiente $b$ influencia a posição da parábola no eixo $x$, afetando o vértice da função.

   • Alterações em $b$ alteram a simetria da parábola em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice.

3. Coeficiente $c$:
   O coeficiente $c$ representa o deslocamento da parábola ao longo do eixo $y$.

   • Se $c>0$, a parábola é deslocada para cima.

   • Se $c<0$, a parábola é deslocada para baixo.

🔹 Passo a Passo para Estudar o Comportamento da Função Quadrática

Passo 1: Analisar o coeficiente $a$
Primeiro, observe o coeficiente $a$. Ele define a direção da parábola (se ela abre para cima ou para baixo) e sua largura. Experimente variar $a$ para entender a mudança na forma da parábola.

Passo 2: Verificar o coeficiente $b$
Altere o valor de $b$ e observe como isso afeta o vértice da parábola. O valor de $b$ também influencia a inclinação da parábola, alterando sua simetria.

Passo 3: Ajustar o coeficiente $c$
Alterar $c$ desloca a parábola para cima ou para baixo. A mudança de $c$ não afeta a direção nem a largura da parábola, apenas a posição vertical.

Passo 4: Identificar as raízes e o vértice
Use a fórmula de Bhaskara ou o vértice para encontrar as raízes (se existirem) e o ponto mais baixo ou alto da parábola.

🔹 Exemplo 1: Função Quadrática com $a=1$, $b=-4$ e $c=3$

Equação:

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3f(x)=x2−4x+3

Passo 1: Identifique os coeficientes:

• $a=1$, $b=-4$, $c=3$

Passo 2: Determine a direção da parábola:

• Como $a=1$ (positivo), a parábola abre para cima.

Passo 3: Calcule o vértice:
A fórmula do vértice é dada por:

xv=−b2ax_v = \frac{-b}{2a}xv​=2a−b​

Substituindo:

xv=−(−4)2(1)=42=2x_v = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2xv​=2(1)−(−4)​=24​=2

Agora, substitua xv=2x_v = 2xv​=2 na equação para encontrar o valor de $f(2)$:

f(2)=(2)2−4(2)+3=4−8+3=−1f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1f(2)=(2)2−4(2)+3=4−8+3=−1

Então, o vértice da parábola é $(2,-1)$.

Passo 4: Determine as raízes:
Use a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:

x=−(−4)±(−4)2−4(1)(3)2(1)x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}x=2(1)−(−4)±(−4)2−4(1)(3)​​ x=4±16−122x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}x=24±16−12​​ x=4±42x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}x=24±4​​ x=4±22x = \frac{4 \pm 2}{2}x=24±2​

Logo, as raízes são:

x1=4+22=3,x2=4−22=1x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1x1​=24+2​=3,x2​=24−2​=1

Resposta:
A parábola tem um vértice em $(2,-1)$ e as raízes são $x=3$ e $x=1$.

🔹 Exemplo 2: Função Quadrática com $a=-2$, $b=4$ e $c=-1$

Equação:

f(x)=−2x2+4x−1f(x) = -2x^2 + 4x - 1f(x)=−2x2+4x−1

Passo 1: Identifique os coeficientes:

• $a=-2$, $b=4$, $c=-1$

Passo 2: Determine a direção da parábola:

• Como $a=-2$ (negativo), a parábola abre para baixo.

Passo 3: Calcule o vértice:

xv=−b2a=−42(−2)=−4−4=1x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1xv​=2a−b​=2(−2)−4​=−4−4​=1

Substituindo xv=1x_v = 1xv​=1 na equação:

f(1)=−2(1)2+4(1)−1=−2+4−1=1f(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1f(1)=−2(1)2+4(1)−1=−2+4−1=1

O vértice da parábola é $(1,1)$.

Passo 4: Determine as raízes:
Use a fórmula de Bhaskara:

x=−4±42−4(−2)(−1)2(−2)x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)}x=2(−2)−4±42−4(−2)(−1)​​ x=−4±16−8−4x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-4}x=−4−4±16−8​​ x=−4±8−4x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{-4}x=−4−4±8​​

As raízes não são números inteiros, mas podem ser expressas em termos de radicais.

🔹 Dicas Importantes

• Experimente variar os coeficientes $a$, $b$ e $c$ para observar como isso afeta o gráfico.

• Use a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática.

• Estude o comportamento da parábola com diferentes valores de $a$ e $b$, especialmente em termos de abertura e deslocamento.

🔹 Conclusão

Entender como a alteração dos coeficientes $a$, $b$ e $c$ afeta uma função quadrática é essencial para resolver problemas envolvendo essas funções e para compreender melhor o comportamento das parábolas em diversos contextos. Com prática, você será capaz de visualizar facilmente como essas mudanças influenciam o gráfico e as soluções das equações.