Como Resolver Problemas do Mundo Real com Funções Quadrática

Funções do 2º grau, ou funções quadráticas, são essenciais na matemática e possuem aplicações práticas em diversos campos, como física, economia e engenharia. Embora a resolução de equações quadráticas seja muitas vezes abordada de forma algébrica, elas também podem ser aplicadas diretamente a situações do cotidiano. Neste artigo, vamos explorar como resolver problemas do mundo real usando funções do 2º grau, de forma simples e prática.

🔹 O que é uma Função do 2º Grau?
Uma função do 2º grau é uma função polinomial que pode ser representada pela equação:
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
Onde:

• $a$, $b$, e $c$ são constantes, com a≠0a \neq 0a=0,

• $x$ é a variável,

• A equação descreve uma parábola.

Exemplo:
Se tivermos uma função f(x)=2x2+3x−5f(x) = 2x^2 + 3x - 5f(x)=2x2+3x−5, podemos analisá-la graficamente ou usá-la para resolver problemas.

🔹 Quando Usar Funções do 2º Grau no Mundo Real
Funções quadráticas são frequentemente usadas para modelar situações onde há relacionamentos não lineares, ou seja, onde o crescimento ou a mudança não ocorre de maneira constante. Alguns exemplos incluem:

• Lançamento de projéteis: O movimento de um objeto lançado no ar segue uma trajetória parabólica.

• Cálculo de lucros e perdas: Algumas situações econômicas, como lucro marginal, podem ser modeladas por funções quadráticas.

• Distância percorrida: O cálculo de distâncias em trajetórias aceleradas (como carros ou bicicletas) pode ser baseado em funções do 2º grau.

🔹 Passo a Passo para Resolver um Problema Real com Funções Quadráticas

Exemplo 1: Cálculo de Lançamento de Projétil

Imagine que você está lançando uma bola para o alto, e a altura da bola em metros, $h(t)$, é dada pela função:
h(t)=−5t2+20t+2h(t) = -5t^2 + 20t + 2h(t)=−5t2+20t+2
Onde $t$ é o tempo em segundos e $h(t)$ é a altura da bola em metros.
Pergunta: Qual a altura máxima atingida pela bola?

Passo 1: Identificar a função quadrática
Aqui, temos h(t)=−5t2+20t+2h(t) = -5t^2 + 20t + 2h(t)=−5t2+20t+2.
A equação é uma função do 2º grau onde o coeficiente $a=-5$, $b=20$, e $c=2$.

Passo 2: Encontrar o vértice da parábola
O vértice de uma parábola dada por ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c ocorre em t=−b2at = \frac{-b}{2a}t=2a−b​. Vamos calcular:
t=−202(−5)=−20−10=2t = \frac{-20}{2(-5)} = \frac{-20}{-10} = 2t=2(−5)−20​=−10−20​=2
Portanto, o tempo em que a bola atinge a altura máxima é $t=2$ segundos.

Passo 3: Substituir o valor de $t$ na função para encontrar a altura máxima
Substituindo $t=2$ em h(t)=−5t2+20t+2h(t) = -5t^2 + 20t + 2h(t)=−5t2+20t+2:
h(2)=−5(2)2+20(2)+2h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2h(2)=−5(2)2+20(2)+2
$h(2)=-5(4)+40+2$
$h(2)=-20+40+2=22$
Portanto, a altura máxima atingida pela bola é 22 metros.

✅ Solução: A altura máxima é 22 metros.

Exemplo 2: Cálculo de Lucro em Função de Preço de Produto

Uma empresa determina que o lucro $L(x)$ em milhares de reais de acordo com o preço $x$ de venda de um produto em reais segue a equação:
L(x)=−2x2+40x−150L(x) = -2x^2 + 40x - 150L(x)=−2x2+40x−150
Pergunta: Qual o preço que maximiza o lucro?

Passo 1: Identificar a função quadrática
Aqui, temos L(x)=−2x2+40x−150L(x) = -2x^2 + 40x - 150L(x)=−2x2+40x−150.
A equação é uma função quadrática onde $a=-2$, $b=40$, e $c=-150$.

Passo 2: Encontrar o vértice da parábola
O vértice ocorre em x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​. Vamos calcular:
x=−402(−2)=−40−4=10x = \frac{-40}{2(-2)} = \frac{-40}{-4} = 10x=2(−2)−40​=−4−40​=10
Portanto, o preço que maximiza o lucro é R$ 10.

Passo 3: Substituir o valor de $x=10$ na função para encontrar o lucro máximo
Substituindo $x=10$ em L(x)=−2x2+40x−150L(x) = -2x^2 + 40x - 150L(x)=−2x2+40x−150:
L(10)=−2(10)2+40(10)−150L(10) = -2(10)^2 + 40(10) - 150L(10)=−2(10)2+40(10)−150
$L(10)=-2(100)+400-150$
$L(10)=-200+400-150=50$
Portanto, o lucro máximo será R$ 50 mil.

✅ Solução: O preço que maximiza o lucro é R$ 10, e o lucro máximo é R$ 50 mil.

🔹 Dicas Importantes ao Resolver Problemas com Funções Quadráticas

1. Identifique o contexto: Antes de resolver, entenda o que a equação representa no mundo real. Isso ajudará a interpretar os resultados corretamente.

2. Use o vértice para maximizar ou minimizar: Muitas situações de otimização, como maximizar lucro ou altura, podem ser resolvidas encontrando o vértice da parábola.

3. Verifique as unidades: Sempre verifique as unidades de medida ao calcular o valor máximo ou mínimo em problemas do mundo real.

🔹 Conclusão
Funções quadráticas são uma ferramenta poderosa para modelar e resolver problemas do mundo real. Desde o lançamento de projéteis até o cálculo de lucros, entender como usar e resolver funções do 2º grau pode ser a chave para entender melhor as situações em que o crescimento ou a mudança não ocorre de maneira linear. Com os passos simples que mostramos, você estará preparado para resolver problemas práticos com funções quadráticas com confiança.

Agora, que tal tentar resolver mais exemplos?