Infinitos

É extremamente comum nos depararmos com quantidades infinitas de alguma coisa, por exemplo, a quantidade de maçãs que Jubisclayton comprou na sua ida ao mercado, a sede de alguém quando acaba de voltar de uma caminhada, ou até mesmo o tempo de vida da rainha Elisabeth. Entretanto, ao mesmo tempo que ambas essas quantidades são, aparentemente, a mesma (quantidades infinitas), existe sim uma diferença entre elas, e é sobre isso que falarei um pouco aqui.

Primeiramente, começaremos falando um pouco sobre números cardinais e números ordinais. Os números cardinais, de modo simples, representam a quantidade de alguma coisa, por exemplo a quantidade de questões corretas numa prova (vamos desconsiderar questões parcialmente corretas), essa quantidade pode ser por exemplo 3, em meio a 10 questões (isso é baseado em dados reais - minha primeira prova de sociologia), ambos esses números representamo uma quantidade de alguma coisa em um certo conjunto, o conjunto das questões da prova (de sociologia) no nosso caso.

Por outro lado, os números ordinais são aqueles que nos permite contar uma certa coleção de coisas. A sua idade por exemplo, pode ser vista como um número ordinal, ela não representa apenas a quantidade de tempo que você viveu, mas está intrinsecamente conectada a uma certa contagem, se você tem, digamos 89 anos, está implicito que até hoje, você têm contado, desde seu primeiro ano de vida, 89 anos vividos. A diferença entre os cardinais e os ordinais, apesar de parecer sutil, é grande e têm consequências completamente difrentes lidar com uma, ou com outra.

Vamos exemplficar um pouco melhor as coisas agora. Considere o conjunto dos números naturais, aqui, vou considerar 0 um número natural. Se pudermos escrever um único número que represente a quantidade de números que existem nos números naturais, pensariamos, é claro, em infinito, e isso está correto, mas não representamos essa quantidade pelo símbolo clássico do infinito (), ao invés disso, representamos pela letra hebraica aleph com o subíndice 0: . Repare a independência da contagem, não estamos contando quantos números existem no conjunto dos naturais, mas sim escrevendo um símbolo que representa essa quantidade.

Agora, se adotarmos uma contagem, ou seja, começamos pelo zero como o primeiro número, o 1, como o segundo, 2 como terceiro, caímos num problema interessante. Agora, como estamos contando os números, ou seja, colocando o que chamamos de uma Boa Ordem no conjunto dos naturais, então estamos lidando com os números ordinais. A representação em ordinal para os números naturais é a letra grega ômega . Agora, repare que se começarmos a contagem em 1, seguindo para 2, depois 3, 4, etc. e só depois de contarmos todos os outros números, contarmos o 0, então contamos a mesma quantidade (infinita) de números que havíamos contado antes, ou seja, , mais um número, o zero, ou seja, contamos números. Podemos começar pelo 2, e depois contar o 0 e o 1, ou seja, contamos a mesma quantidade de números que os naturais, mais 2 números, ou seja, . Vou passar um exercício para você, pense o que ocorre caso nós contarmos primeiro os números pares e quando terminar, contarmos os ímpares, qual seria a representação desse número ordinal?

Veja que mesmo a construção dos números ordinais é feita completamente dentro dos números naturais, ou seja, continuamos, independente da ordem que contamos, com o mesmo número, de elementos. Isso significa que a ordem num conjunto não atera sua cardinalidade, mas pode alterar sua ordinalidade.

Agora, vamos ao que interssa. Até aqui, falamos de números cardinais e ordinais, mas o que isso tem a ver com os infinitos? A questão é que representa a quantidade de números naturais, mesmo que essa quantidade seja infinita. Além disso, nós estamos acostumados a utilizar os números naturais (com a ordem comum 0, 1, 2,...) para realizar contagem. Assim, vamos dizer, de modo bem geral, que sempre que pudermos contar a quantidade de elementos de um certo conjunto, esse conjunto é dito Enumerável, pois a cada elemento estamos associando um número natural, para poder contá-lo. Agora, e se pensarmos por exemplo nos números racionais? Este conjunto é enumerável ou não? Isto é, podemos contar seus elementos ou não? Tente pensar antes de continuar a leitura, mas a resposta para a pergunta foi dada por Georg Cantor e a resposta é: sim! os racionais são enumeráveis! Não mostrarei como Cantor fez para contar esses números, mas te encorajo a pesquisar, é um método brilhante. A conclusão disso, é que se podemos contar quantos números racionais existem, então sua cardinalidade, ou seja, seu número de elementos é . 

Vamos dar um passo adiante. Vamos pensar nos reais agora. Você acha que este é um conjunto enumerável, ou não? Mais uma vez, nosso amigo Cantor nos dá uma resposta, que agora é negativa. O conjunto dos reais não é enumerável! O processo para mostrar isso é conhecido como Diagonalização de Cantor, novamente, te encorajo a pesquisar sobre, é extremamente interessante. O que ocorre é que sempre que tentamos contar os reais, aparece um novo número real que ainda não foi contado e isso SEMPRE ocorre. Portanto, a cardinalidade do conjunto dos reais, não pode mais ser , entretanto, o conjunto dos reais, ainda é infinito (me dê um número enorme e eu sempre lhe darei um maior, me dê um pequeno e sempre lhe darei um menor). A cardinalidade dos reais é geralmente referida como a cardinalidade do contínuo e representada simplesmente por .

Isso encerra nossa discussão, ficou evidente que nós encontramos dois conjuntos que apesar de serem infinitos, possuem uma quantidade diferente de elementos, os naturais, contendo elementos e os reais, contendo elementos. Isso pode responder nossa pergunta inicial, o que é maior, a quantidade de tempo que a rainha Elisabeth viveu, ou a quantidade de maçãs que Jubisclayton comprou? Considerando que podemos contar a quantidade de maçãs, apesar de ser uma quantia infinita, concluímos que Jubisclayton comprou maçãs, enquanto a idade da rainha Elisabeth não pode ser contada, já que anos podem ser contados em meses, meses em dias, dias em horas, horas em segundos e isso fica tão pequeno quanto se queira (para os mais familiarizados: existe uma correspondência entre um intervalo de tempo e um  intervalo dos reais, e qualquer intervalo dos reais tem a cardinalidade do contínuo).