O Paradoxo de Banach-Tarski

Teriam, os matemáticos, provado que os físicos estão errados? - Uma discussão acerca do artigo de Ian Stewart "A mágica da Duplicação Espacial"

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O Paradoxo de Banach-Tarski
Pedro B.
em 05 de Março de 2021

Não podemos falar sobre o paradoxo de Banach-Tarski sem antes mencionarmos o Axioma da Escolha.

Desde que foi formulado, o Axioma da Escolha tem sido alvo de muita discussão, discussões essas relativas à sua validade. Muitos matemáticos ao longo da história se negaram à aceitar a veracidade do Axioma da Escolha, mesmo este sendo utilizado fortemente em demonstrações de diversos resultados importantíssimos (como o Teorema de Hahn-Banach na análise funcional, ou o teorema que afirma a existência de uma base para qualquer espaço vetorial, na álgebra linear).

Com isso, uma prova de um teorema, no mínimo surpreendente, apoiou argumentos dos matemáticos que se posicionaram contrários à veracidade do Axioma da Escolha. Estamos falando, é claro, do Paradoxo de Banach Tarski, que afirma que dada uma esfera qualquer em três dimensões, podemos dividi-la em 6 pedaços e após algumas manipulações, juntar esses pedaços de tal forma a conseguirmos duas esferas perfeitamente identicas à esfera inicial. Isso contribuiu com os argumentos contrários ao Axioma da Escolha, já que para esse resultado, aparentemente impossível, é necessário que o Axioma da Escolha seja verdadeiro.

Apesar de muita polêmica e discussão acerca do paradoxo, hoje o Axioma da Escolha é muito bem aceito pela comunidade matemática, bem como é uma importantíssima ferramenta para a demonstrações de diversos resultados. A aparente impossibilidade do paradoxo é brilhantemente refutada por Ian Stewart em "A mágica da duplicação espacial", onde o matemático justifica a validade do paradoxo utilizando belíssimos argumentos como o da "Máquina de Lavar Louças", ou ainda o do "Dicionário Alienígena".

Além disso, Stewart explica que esse tipo de "absurdo" ocorre por conta de, matematicamente, lidarmos com objetos "tão complexos que não têm volumes bem definidos", enquanto num mundo físico, os objetos não são constituídos por partes tão complexas quanto essas do mundo matemático. O que Ian Stewart quer dizer com isso é que matemátticamente, a esfera é constituída de uma infinidade de pontos, pontos esses que não possuem dimensões, tampouco volume, enquanto esferas do nosso cotidiano são formadas por uma quantidade finita de átomos, que por sua vez são formados por uma quantidade finita de partículas (elétrons, prótons, nêutrons, etc.) por conta disso, a duplicação da esfera não é possível num mundo físico, mas bem razoável do ponto de vista matemático.

Dessa maneira, Ian Stewart em sua defesa do Paradoxo de Banach-Tarski não apenas nos ajuda a compreender melhor o funcionamento e significado do paradoxo, mas também nos faz enxergar um pouco do significado de infinidade, entender que quando lidamos com coisas que são infinitas (diferente de tudo o que nos cerca no mundo físico), resultados que não seguem o senso comum podem ocorrer e, como mostra o Paradoxo de Banach-Tarski, eles ocorrem.

 

 

Recomendo fortemente a leitura do artigo sobre o qual falo neste texto, o artigo pode ser encontrado em: https://www1.folha.uol.com.br/fsp/1995/2/12/mais!/31.html
Além disso, se você que ver e (possivelmente) entender ocmo ocorre a duplicação da esfera, recomendo os seguintes vídeos: https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA e https://www.youtube.com/watch?v=ZUHWNfqzPJ8

Rio Claro / SP
Mestrado: MATEMATICA (Unesp (Universidade Estadual Paulista))
Funções Espaços Métricos Números Complexos Matemática - Cálculo Álgebra Álgebra Linear Matemática - Cálculo Diferencial Integral II
Professor de Matemática Geral, com foco em Álgebra e Análise. Alunos de ensino superior e médio.
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em 6 de abril de 2021

Olá Sidney, não sei o que está acontecendo, mas não consigo responder a sua pergunta no local correto, eu clico em responder e nada acontece, portanto vai por aqui mesmo. O Ian Stewart citado é esse mesmo ao qual você se refere, inclusive outro livro muito bom escrito por ele é "17 Equações que Mudaram o Mundo", recomendo mesmo! FIco feliz que você tenha gostado do artigo!

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em 5 de abril de 2021

Pergunta o Ian Stewart citado no texto é o mesmo que escreveu o Livro: "Incriveis passatempos matemáticos"? E parabéns pelo artigo, tive oportunidade de ver um seminário onde diversos mestrandos da USP, dissertavam sobre Bannach....

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