O que são Invariantes Quânticos?

O que são Invariantes Quânticos? Apesar da palavra "quântico", os invariantes quânticos nada tem a ver (a priori) com a tão aclamada física quântica. Quando falamos de invariantes quânticos, portanto, não estamos falando de partículas, funções de onda e muito menos de qualquer forma (inútil) de coaching. Na verdade, o estudo de invariantes quânticos surge do estudo de objetos dos quais todos estamos familiarizados: os nós.

Todos nós em algum momento de nossas vidas já fizemos algum tipo de nó, seja para amarrar os sapatos, para fazer um truque de mágica, ou até mesmo para amarrar o amiguinho em algum lugar, assim, os nós fazem parte da vida de todas as pessoas, inclusive dos físicos e matemáticos. No passado, antes de conhecermos a estrutura atômica, Lord Kelvin conjecturou de que os átomos seriam pequenos loops (imagine pequenos elásticos) enlaçados de forma a criarem nós imersos no que, na época, se chamava de éter, mas que mais tarde, junto com essa teoria de Kelvin, foi descartado. Entretanto, como já se havia iniciado um estudo de classificação desses nós (de natureza física), os matemáticos se interessaram pelas estruturas que esses nós possuiam e decidiram continuar os estudando a fim de classificar todos os possivies nós com base no número de cruzamentos que esses nós possuiam, surgindo assim as primeiras tabelas de classificação de nós.

Para tal classificação era necessário criar uma maneira de distinguir um nó de outro, visto que um mesmo nó pode aparecer de diversas maneiras diferentes. Por exemplo, imagine o elástico de dinheiro comum, se enrolarmos ele, amassarmos embolarmos e fizermos o que quisermos com ele, podemos obter algo que de forma alguma se parece com um círculo. Porém, essencialmente podemos desfazer todo esse processo e obter novamente o circulo inicial sem realizar nenhum corte no nó. 

Uma das técnicas mais eficientes criadas para distinguir nós foi fazer uma associação de um polinômio à cada nó, ou seja, dado um nó qualquer, podemos realizar uma série de alterações nesse nó e calcular qual o polinômio que se relaciona a esse nó. A idéia inicial então é que se dois nós possuem polinômios distintos, então eles devem ser nós distintos. O primeiro a desenvolver uma técnica para associar esses polinômios aos nós foi Vaughan Jones, e seu polinômio ficou conhecido (trivialmente) como o Polinômio de Jones.

Tais polinômios então receberam o nome de Invariantes Quânticos, a palavra invariante nesse nome vem do fato de que quaisquer dois representantes de um mesmo nó, terão o mesmo polinômio associado, ou seja, o polinômio é invariante pela mudança no formato do nó. A palavra quântico entretanto, acabou ficando relacionada à esses invariantes devido a um artigo publicado por Edward Witten, chamado "Quantum Field Theory and the Jones Polynomial".

Embora os invariantes quânticos nos ajudem a determinar nós distintos, já que dois polinômios distintos implicam em nós distintos, a recíproca não é verdadeira, ou seja podemos encontrar nós que sejam distintos mas que possuam o mesmo polinômio de Jones, por conta deste pequeno impecílio na teoria de invariantes quânticos, uma grande pergunta continua em aberto para os matemáticos, será que existe um nó que não pode ser desfeito, mas que possua o mesmo polinômio de Jones do nó trivial (na tablea acima unknot)?