Radia¸c˜ao Gama e Estat´?stica de Poisson Absor¸c˜ao de Raio

Radia¸c˜ao Gama e Estat´ıstica de Poisson
Absor¸c˜ao de Raios Gama e Lei da Distˆancia
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Este ´e um experimento sobre a estat´ıstica de eventos aleat´orios, neste estudo, esses eventos ser˜ao pulsos
de um detector de radia¸c˜ao Geiger-M¨uller exposto a raios gama de uma fonte radioativa de cobalto-60.
Um contador Geiger-M¨uller ser´a exposto `a radia¸c˜ao gama de uma fonte radioativa de Co-60 e registrar´a a
frequˆencia de contagens em intervalos iguais de tempo. As distribui¸c˜oes experimentais e seus desvios padr˜oes
ser˜ao comparados com distribui¸c˜oes e desvios padr˜oes te´oricos.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
Radia¸c˜ao gama ou raio gama γ ´e um tipo de radia¸c˜ao eletromagn´etica de alta frequˆencia produzida
geralmente por elementos radioativos, processos subatˆomicos como a aniquila¸c˜ao de um par p´ositron e
el´etron.
Este tipo de radia¸c˜ao muito energ´etica tamb´em
´e produzido em fenˆomenos astrof´ısicos de grande
violˆencia.
Figura 1: Ilustra¸c˜ao da emiss˜ao de raios gama a partir
do n´ucleo atˆomico.
Uma sequˆencia de eventos aleat´orios ´e aquela em
que a ocorrˆencia de qualquer evento n˜ao afeta a
ocorrˆencia de outro. Um exemplo de uma sequˆencia
de eventos aleat´orios ´e a emiss˜ao de f´otons de por uma
amostra de Cs-137 ou Co-60.
Ao contr´ario, as fiss˜oes de n´ucleos numa massa
cr´ıtica de U-235 s˜ao eventos correlacionados numa
rea¸c˜ao em cadeia em que o resultado de cada evento,
isto ´e, o n´umero de nˆeutrons liberados, afeta os resultados de eventos subsequentes.
Um processo aleat´orio cont´ınuo ´e chamado de estacion´ario com uma taxa m´edia m se:
lim
T→∞
N
T
= m
onde N ´e o n´umero de eventos acumulados num intervalo de tempo T.
O ´unico modo de se julgar se um certo processo
tem, de fato, uma taxa que ´e estacion´aria na escala
de tempo do pr´oprio experimento ´e fazendo medidas
repetidas do n´umero de contagens ni em intervalos de
tempo ti e determinar se h´a uma tendˆencia nos valores
sucessivos de ni/ti
.
E necess´ario conhecer qual ´e a distribui¸c˜ao do ´
n´umero de contagens num intervalo fixo de tempo,
se o processo realmente tiver uma taxa estacion´aria
para se saber se as flutua¸c˜oes que observamos est˜ao
dentro de limites razo´aveis para uma taxa fixa. Essa
distribui¸c˜ao ´e a distribui¸c˜ao de Poisson, definida pela
seguinte equa¸c˜ao:
pm,n =
mn
e
−m
n!
(1)
Que ´e a probabilidade de registrar n contagens
(sempre um inteiro) quando m (geralmente um n˜aointeiro) for o n´umero esperado, ou seja, a taxa m´edia
vezes o intervalo de tempo de contagem.
Neste experimento, um contador Geiger-M¨uller1
(figura 2) ser´a exposto `a radia¸c˜ao gama de uma fonte
1O contador Geiger (tamb´em contador Geiger-M¨uller ou
contador G-M) serve para medir certas radia¸c˜oes ionizantes
(part´ıculas alfa, beta ou radia¸c˜ao gama e raios-X, mas n˜ao os
nˆeutrons). Este instrumento de medida, cujo princ´ıpio foi imaginado por volta de 1913 por Hans Geiger, foi aperfei¸coado por
Geiger e Walther M¨uller em 1928.
1
radioativa de Co-60 e registrar´a a frequˆencia de contagens em intervalos iguais de tempo. As distribui¸c˜oes
experimentais e seus desvios padr˜oes ser˜ao comparados com distribui¸c˜oes e desvios padr˜oes te´oricos.
O objetivo ´e aplicar a estat´ıstica de Poisson para
analisar a detec¸c˜ao de radia¸c˜ao gama proveniente de
uma fonte de cobalto-60.
Figura 2: Esquema de um Contador G-M.
A lei do inverso do quadrado ´e demonstrada com a
radia¸c˜ao gama pela prepara¸c˜ao do 60CO, a metade do
valor da espessura e o coeficiente de absor¸c˜ao de v´arios
materiais determinados pelo sistema de feixe estreito
e a atenua¸c˜ao de massa correspondente calculada.
O is´otopo do cobalto 60
27CO tem meia-vida de 5,26
anos e sofre decaimento beta para produzir o is´otopo
est´avel de n´ıquel 60
28NI, como representado na figura 3.
Figura 3: Diagrama do 60
27CO
Como ocorre com a maioria dos emissores beta, a
desintegra¸c˜ao leva inicialmente a n´ucleos filhos em um
estado excitado, que mudam para o estado fundamental com a emiss˜ao de gama quanta.
Considerando que os n´ıveis de energia dos el´etrons
beta podem assumir qualquer valor at´e o m´aximo por
causa dos antineutrinos envolvidos, os gama quanta
que participam do mesmo processo de transi¸c˜ao possuem energia uniforme, com o resultado que o espectro
gama consiste em dois discretos, linhas agudas.
A taxa de contagem de impulso N˙ (r) por ´area A em
torno de um ponto-fonte diminui na propor¸c˜ao inversa
ao quadrado da distˆancia, desde que os gama quanta
possam se espalhar em linhas retas e n˜ao sejam desviados de sua trilha por intera¸c˜oes.
r2 = 2 r1 A2 = 4 A1
A2 = A1 ·

r2
r1
2
(2)
A raz˜ao para isso ´e que, como mostra a figura 4,
a ´area de uma esfera ao redor da fonte com a passagem de um feixe de raios aumenta com o quadrado da
distˆancia r.
Figura 4: Lei da distˆancia relativa aos raios que se
propagam em linha reta a partir de uma fonte pontual.
A atenua¸c˜ao dos raios gama quando eles passam
por um absorvedor de espessura d ´e expressa pela lei
exponencial:
N˙ (d) = N˙ (o) · e
−µd (3)
onde N˙ (d) ´e a taxa de contagem de impulso ap´os a
absor¸c˜ao no absorvedor, N˙ (o) ´e a taxa de contagem
de impulso quando n˜ao h´a absor¸c˜ao ocorre, µ ´e o coeficiente de absor¸c˜ao do material absorvente e depende
da energia do quantum gama.
A absor¸c˜ao dos raios gama ´e provocada por trˆes
efeitos independentes: o efeito Compton, o efeito fotel´etrico e a forma¸c˜ao de pares.
As contribui¸c˜oes relativas desses trˆes efeitos para
a absor¸c˜ao total dependem principalmente da energia
dos quanta e do n´umero atˆomico do absorvedor.
2
Procedimento Experimental
Primeira parte
O aparato experimental utilizado neste experimento
consiste em um detector Geiger-M¨uller, uma fonte radioativa de cobalto-60 e uma capela com suporte para
a fonte e o tubo do contador, apresentados na figura 5.
Se realizou a seguinte montagem: a fonte de Co-60 e
o tubo do contador Geiger-M¨uller foram colocados no
interior da capela usando o suporte apropriado. Ajustado para 200 cpm, realizou 100 medidas com o tempo
de contagem fixo de um minuto.
Figura 5: Aparato experimental utilizado.
Segunda parte
Neste foram utilizados os seguintes materiais e equipamentos: uma fonte radioativa de Co-60, um tijolo
de chumbo com um orif´ıcio no centro, um contador
Geiger-M¨uller, duas placas com diferentes espessuras
feitas de acr´ılico e chumbo. As seguintes etapas foram
seguidas para coleta de dados: primeiro mediu-se a
radia¸c˜ao de fundo com o contador Geiger-M¨uller durante 10 minutos, depois, usando a fonte de Co-60
mediu-se a absor¸c˜ao para trˆes situa¸c˜oes distintas: a
primeira em fun¸c˜ao da distˆancia para 14 valores com
incrementos de 10 mm, contada durante 3 minutos
para cada incremento, a segunda em fun¸c˜ao da espessura do acr´ılico e a terceira em fun¸c˜ao da espessura
do chumbo. Todas contadas durante 3 minutos para 7
diferentes valores de espessura, variando de 1mm at´e
30 mm.
Resultados e Discuss˜ao
Primeira parte
Os dados experimentais consistem de 100 medidas
de contagem com intervalo de tempo de um minuto,
totalizando o tempo total de 100 minutos de realiza¸c˜ao
experimental.
Cada medida ´e denominada de evento, as contagens
obtidas para todos os 100 eventos s˜ao mostradas na
tabela 1.
Evento Contagem Evento Contagem
1 164 51 211
2 167 52 226
3 224 53 200
4 174 54 203
5 222 55 219
6 209 56 220
7 225 57 196
8 221 58 230
9 223 59 183
10 205 60 205
11 193 61 197
12 195 62 215
13 173 63 218
14 223 64 230
15 209 65 180
16 210 66 210
17 182 67 207
18 227 68 194
19 160 69 232
20 174 70 222
21 223 71 220
22 229 72 198
23 176 73 227
24 170 74 190
25 224 75 191
26 175 76 210
27 183 77 176
28 172 78 193
29 239 79 202
30 182 80 206
31 190 81 210
32 204 82 214
33 178 83 198
3
Evento Contagem Evento Contagem
34 217 84 197
35 190 85 222
36 202 86 232
37 196 87 211
38 204 88 207
39 185 89 202
40 205 90 199
41 221 91 198
42 187 92 230
43 203 93 220
44 206 94 218
45 219 95 204
46 220 96 209
47 172 97 242
48 174 98 262
49 194 99 214
50 215 100 232
Tabela 1: Medidas com t de contagem fixo de 1 minuto.
Com os dados da tabela 1 calculou-se a m´edia acumulada rc(j) da taxa de contagem ci
, a express˜ao matem´atica empregada ´e mostrada na equa¸c˜ao 3, onde
ti = 60 · i ´e o tempo associado a obten¸c˜ao da contagem do evento i:
rc(j) =
Pj
i=1 ci
Pj
i=i
ti
(4)
O gr´afico da m´edia acumulada como fun¸c˜ao do
n´umero sequencial j da contagem pode ser visto no
gr´afico 1, observamos que a m´edia acumulada converge para uma contagem de aproximadamente 203,5.
Gr´afico 1: Gr´afico da m´edia acumulada pelo o n´umero
de contagens.
Uma maneira de saber se o sistema de detec¸c˜ao
(contador Geiger-Muller) est´a funcionando bem, ´e por
meio do teste do χ
2
. Espera-se que os dados obede¸cam
a estat´ıstica de Poisson, e para a distribui¸c˜ao de Poisson o χ
2 ´e dado pela equa¸c˜ao 5:
χ
2 =
X (ri − m)
2
m
(5)
onde m ´e o valor m´edio da taxa de contagem, que ´e
definido da seguinte forma:
m =
1
j
X
j
i=1
ci (6)
O valor que encontramos foi: m = 204, 7 ± 19, 8
De acordo com a tabela 2, seria considerado um valor satisfat´orio se o valor obtido para χ
2
estiver entre
64,3 e 96,6, correspondendo respectivamente `a probabilidade de 90% e 10%.
ν (80)
0,995 51,2 0,990 53,5 0,975 57,2
0,950 60,4 0,900 64,3 0,100 96,6
0,050 101,9 0,025 106,6 0,005 112,3
Tabela 2: Tabela do χ
2 para 80 graus de liberdade.
O valor encontrado para χ
2 para as 81 primeiras
medidas foi de 67,9, o que de acordo com a tabela 2 ´e
um valor razo´avel, portanto o contador Geiger M¨uller
foi satisfat´oria para detectar a radia¸c˜ao gama emitida
pela fonte radioativa de Colbato-60.
Usando o valor m´edio m como referˆencia, calculouse o desvio padr˜ao σ e o desvio m´edio δm das medidas,
as equa¸c˜oes 6 e 7 mostram as f´ormulas empregadas.
σ =
sPn
i=1(ci − m)
2
(n − 1) (7)
δm =
Pn
i=1 |ci − m|
n
(8)
Os valores encontrados foram: σ ' 19, 8 e δm '
15, 9. A raz˜ao δm/σ ' 0,81 que ´e um valor pr´oximo
da raz˜ao 4/5, ´e mais um indicador de que as contagens
obedecem `a distribui¸c˜ao de Poisson, outro indicador ´e
o fato de que aproximadamente 69% dos resultados se
situam entre (m±σ), analisando os dados se verificou
que 69% est˜ao nesse intervalo, ou seja, os resultados
est˜ao de acordo com o indicador. Na distribui¸c˜ao de
Poisson se extrairmos √
m se deve encontrar um valor
pr´oximo do σ, encontramos √
m ' 14, 3 ´e um pouco
pr´oximo ao valor de σ, o que prova que de fato isso
ocorre para as medidas do experimento.
Na tabela 3 est˜ao dispon´ıveis as 100 contagens e
seus respectivos desvios do valor m´edio.
4
Contagem |ci − m| Contagem |ci − m|
164 40,67 211 6,33
167 37,67 226 21,33
224 19,33 200 4,67
174 30,67 203 1,67
222 17,33 219 14,33
209 4,33 220 15,33
225 20,33 196 8,67
221 16,33 230 25,33
223 18,33 183 21,67
205 0,33 205 0,33
193 11,67 197 7,67
195 9,67 215 10,33
173 31,67 218 13,33
223 18,33 230 25,33
209 4,33 180 24,67
210 5,33 210 5,33
182 22,67 207 2,33
227 22,33 194 10,67
160 44,67 232 27,33
174 30,67 222 17,33
223 18,33 220 15,33
229 24,33 198 6,67
176 28,67 227 22,33
170 34,67 190 14,67
224 19,33 191 13,67
175 29,67 210 5,33
183 21,67 176 28,67
172 32,67 193 11,67
239 34,33 202 2,67
182 22,67 206 1,33
190 14,67 210 5,33
204 0,67 214 9,33
178 26,67 198 6,67
217 12,33 197 7,67
190 14,67 222 17,33
Contagem |ci − m| Contagem |ci − m|
202 2,67 232 27,33
196 8,67 211 6,33
204 0,67 207 2,33
185 19,67 202 2,67
205 0,33 199 5,67
221 16,33 198 6,67
187 17,67 230 25,33
203 1,67 220 15,33
206 1,33 218 13,33
219 14,33 204 0,67
220 15,33 209 4,33
172 32,67 242 37,33
174 30,67 262 57,33
194 10,67 214 9,33
215 10,33 232 27,33
Tabela 3: Desvio do valor m´edio de todas as contagens.
Para prover uma visualiza¸c˜ao da frequˆencia de
ocorrˆencia das contagens, se dividiu um intervalo de
164 at´e 242 em 8 subintervalos, e se contabilizou a
quantidade de ocorrˆencias ci em cada um desses subintervalos, determinando as frequˆencias de ocorrˆencia.
Para cada ponto m´edio dos subintervalos pode-se encontrar qual seria a frequˆencia de Poisson, que ´e mostrada na equa¸c˜ao 2, no caso em quest˜ao m ´e m´edia e
n ´e a contagem de referˆencia contida no intervalo j.
O gr´afico 2 ´e um histograma acoplado de pontos
das frequˆencias de ocorrˆencia, se percebe que a distribui¸c˜ao experimental n˜ao se comportou de modo esperado com rela¸c˜ao a distribui¸c˜ao de Poisson, por´em os
indicadores calculados anteriormente mostram que os
dados est˜ao condizentes com a distribui¸c˜ao de Poisson.
Gr´afico 2: Histograma da frequˆencia de ocorrˆencias.
5
Como procedimento de an´alise de dados final,
considerou-se o crit´erio de Chauvenet para avaliar
qual das medidas de contagem poderiam ser descartadas. Para isso calculou-se a seguinte quantidade:
t =
|ci − m|
σ
(9)
Caso t exceda 2,81 (valor para o caso Poisson), a
medida ci poder´a ser descartada, o processo com os
novos valores de σ e m calculados com o novo conjunto
de dados at´e que nenhum dos ci seja descart´avel.
Para os valores das tabelas de dados apresentadas
somente o c98 = 262 foi descartado.
Com o conjunto final de dados que cont´em 99 elementos, obtemos o resultado final para a contagem,
m´edia e desvio padr˜ao:
cf inal = 204 ± 19
m = 204, 1
σ = 19, 0
Segunda parte
As contagens de radia¸c˜ao em fun¸c˜ao da distˆancia
s˜ao descritas na tabela 4.
r (mm) N0
(r) r (mm) N0
(r)
3 292 10 95
4 201 11 80
5 179 12 81
6 147 13 74
7 112 14 77
8 102 15 59
9 96 16 62
Tabela 4: Radia¸c˜ao de fundo em fun¸c˜ao da distˆancia r.
Os valores da absor¸c˜ao de raios gama em fun¸c˜ao das
espessuras do acr´ılico e do chumbo est˜ao descritos na
tabelas 5.
d (mm) N0
(d) Acr´ılico N0
(d) Chumbo
1 289 197
5 276 162
10 302 122
15 278 115
20 239 100
25 224 95
30 200 86
Tabela 5: Radia¸c˜ao de fundo em fun¸c˜ao das espessuras
do acr´ılico e do chumbo.
A radia¸c˜ao de fundo N0 medida por 10 minutos foi
de 211 contagens. O valor por minuto da intensidade
de radia¸c˜ao ´e dado por:
N˙
0
(d) = N0
(d)
1 min
=
211
10 min
N˙
0
(d) = 21, 1/min
A mesma defini¸c˜ao vale para N˙ 0
(r) (radia¸c˜ao medida sem o absorvedor) e N˙ 0
(d) (radia¸c˜ao medida com
os absorvedores). Logo, temos que as intensidades efetivas s˜ao:
N˙ (r) = N˙
0
(r) − N˙
0 (10)
N˙ (d) = N˙
0
(d) − N˙
0 (11)
Quando constru´ımos o gr´afico de N˙ (d) em fun¸c˜ao da
distˆancia r em uma escala logar´ıtmica, obtemos uma
linha reta com uma inclina¸c˜ao de aproximadamente
igual a -1,9 como ´e poss´ıvel ver no gr´afico 3, o que ´e
bastante pr´oximo do valor te´orico de −2.
Foi utilizada uma regress˜ao linear aplicando a express˜ao exponencial:
N˙ (r) = arb
(12)
Obtemos b = (−1, 89±0, 06), com um erro de 5,5%.
Gr´afico 3: Gr´afico da intensidade de radia¸c˜ao em fun¸c˜ao
da distˆancia (log-log).
Das linhas de regress˜ao obtidas dos valores medidos
mostrados nas gr´aficos 4 e 5, temos que µ = −b pela
express˜ao exponencial:
N˙ (d) = aebd (13)
Para o acr´ılico obtemos µ = 0, 107 cm−1
e para o
chumbo obtemos µ = 0, 45 cm−1
. Os valores te´oricos
descritos na apostila [1] s˜ao µa = 0, 078 cm−1
e µc =
0, 62 cm−1
, logo os erros foram respectivamente de
37,2% e 27,4%.
6
Gr´afico 4: Gr´afico da intensidade de radia¸c˜ao em fun¸c˜ao
da distˆancia - Acr´ılico.
Gr´afico 5: Gr´afico da intensidade de radia¸c˜ao em fun¸c˜ao
da distˆancia - Chumbo.
Conclus˜ao
Com a primeira parte do experimento foi verificado
que o fenˆomeno de emiss˜ao de radia¸c˜ao gama pelo
Cobalto-60 pode ser descrito, de maneira satisfat´oria,
pela estat´ıstica de Poisson. Isso foi revelado de forma
aviltante atrav´es dos parˆametros que se seguem: a
raz˜ao δm/σ ' 0, 81 que ´e um valor pr´oximo da raz˜ao
4/5, outro indicador ´e o fato de que aproximadamente
69% dos resultados se situam entre (m ± σ) e por
´ultimo extrairmos a raiz quadrada do valor m´edio com
a finalidade de encontrar m valor pr´oximo do desvio
padr˜ao, as contas mostram que √
m ' 14, 3 ´e um
pouco pr´oximo valor do σ.
Ap´os uma an´alise dos dados e dos gr´aficos constru´ıdos para a segunda parte, conclu´ımos que nosso
experimento demonstrou com uma efic´acia consider´avel a absor¸c˜ao de raios gama por materiais de
composi¸c˜oes diferentes, e atrav´es do c´alculo do coeficiente de atenua¸c˜ao, vemos que o chumbo demonstra
uma maior capacidade de absor¸c˜ao do que o acr´ılico,
o que j´a era esperado. Os erros percentuais um pouco
elevados, principalmente para o acr´ılico que podem ser
explicados pelo fato da fonte de Co-60 ser bem antiga
e seus n´ıveis de radia¸c˜ao serem bastante reduzidos.
Bibliografia
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7