Aprenda de vez como resolver uma Equação Separável

Olá a todos, tudo bem? Meu nome é Ramon e neste artigo, iremos mostrar como resolver uma Equação Diferencial Ordinária de Variáveis Separáveis. Vamos lá?

Para este artigo iremos precisar de:

Resultado Auxiliar) Dados x,y variáveis, podemos tratar dx e dy como números reais, sendo estes pequenas variações de distâncias de x e y. (dx e dy são chamados infinitésimos)

Regras de Integração) 

Primeiramente, vamos ver do que estamos tratando com a definição de E.D.O. separável.

Definição) Seja y=f(x) uma função real de variável real, derivável e g(x) uma função e h(y) uma outra função. Uma E.D.O. de variáveis separáveis é uma E.D.O. da forma:

Assim, uma E.D.O. separável é uma função que derivando resulta no quociente de duas funções de uma variável.

Agora, temos a pergunta, como resolver uma E.D.O. separável? Para isso, a ideia é separar as variáveis, ou seja, de um ter somente funções que dependem de x e de outro funções que dependam de y. Assim, precisaremos do resultado auxiliar acima. Como dx e dy são números reais, podemos multiplicar primeiramente o primeiro membro por dx, afim de simplificar o dx do denominador. Assim:

 

Como dx / dx = 1, teremos:

Agora a ideia é multiplicar ambos os membros por h(y), afim de simplificar com o h(y) do segundo membro (pois h(y) / h(y) = 1). Daí:

Daí separamos as variáveis: no primeiro membro temos apenas o y e no segundo membro, temos apenas o x. Então, integramos ambos os lados da equação para que possamos descobrir que é a função y=f(x), não é verdade? Então, integrando ambos os membros, vem:

Então, temos integrais de funções conhecidas, daí temos que resolver a integral de cada função em relação à variável respectiva.

Vamos praticar com alguns exemplos? Vamos lá então!

 

Exemplo) Resolva a E.D.O. abaixo.

Tente fazer o exercício, depois veja a solução. Então vamos lá!

Essa E.D.O. é de variáveis separáveis pois podemos, de alguma forma, separar as variáveis da equação, tanto x como y. Então, vamos primeiramente pegar o dx que está dividindo dy e passar multiplicando (Na teoria multiplicamos por dx em ambos os lados, mas prefiro usar a linguagem mais fácil para todos). Assim:

Pegando o y² que está multiplicando no segundo membro e passando para o primeiro membro dividindo, teremos:

Integrando ambos os membros, vem:

Agora, teremos que usar o que aprendemos sobre as integrais para resolver essa E.D.O. Observemos acima, no começo as regras. Temos:

(Aqui, usamos o fato de 1 / y² = y^-², ok?) Usando a regra de integração do retângulo verde, vem:)

 

 

Assim: y-¹ / -1 = -x² + k => -1 / y = -x²+k

Portanto a solução y=f(x) é dada por:

donde

 

Agora, resta testar essa solução na E.D.O. (uma boa forma de verificar a sua resposta). Temos:

 

dy / dx = -2.x.y²

Lembrando que: d[p(x)/q(x)] / dx = [p'(x).q(x)-p(x).q'(x)] / [q(x)]², vem:

 

Portanto, de fato: dy / dx = -2.x.y²

Espero que esse artigo tenha sido útil para vocês. Grande abraço e ótimos estudos!