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comprovar que a equação dada satisfaz a equação da derivada parcial do condução de calor unidimensional

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Matheus perguntou há 4 anos

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1 resposta

Professor Henrique N.

Respondeu há 4 anos

Olá, Matheus!

Para demonstrar que a função $u$ satisfaz a EDP da condução de calor unidimensional, daremos dois passos:

1) Encontrar as funções que descrevem as derivadas parciais de $u$ em termos de $x$ e $t$ que aparecem na EDP;

2) Inserir as funções encontradas na EDP original, e verificar que a igualdade é válida para quaisquer valores de $x$ e $t$ .

Vamos lá!

1) Encontraremos a primeira derivada parcial. Lembre-se que tomar a derivada parcial em função de uma variável ( $t$ , neste caso) equivale a derivar a função como uma função de uma variável em relação à derivada em questão, supondo as outras variáveis (neste caso, apenas $x$ ) constantes.

Então , sendo

$u(x,t) = \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}$ , temos

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{d}{dt} \big( \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}\big) = \big( \frac{d}{dt} \sin \frac{n \pi x}{L}\big) e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} + \big( \frac{d}{dt}e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}\big) \sin \frac{n \pi x}{L}$ (A),

onde utilizamos, na 2ª igualdade, a Regra do Produto da Diferenciação.

Sabemos que

$\frac{d}{dt} \sin \frac{n \pi x}{L} = 0$ (B) ,

pois $t$ não aparece na expressão, que pode ser considerada constante.

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, podemos ver que

$\frac{d}{dt}e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} = e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}.(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})$ (C),

e então , juntando (A), (B) e (C), temos:

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = 0.e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} + e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}. (- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2}).\sin \frac{n \pi x}{L}= - \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2} \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}=$

$- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2} u(x,t)$ (D).

Para a segunda derivada parcial, o processo é essencialmente o mesmo. Utilizaremos a Regra do Produto, a Regra da Cadeia e o fato de a variável $x$ não aparecer na função exponencial:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}(x,t) = \frac{\partial}{\partial x} \Big( \frac{\partial }{\partial x} \big( \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} \big) \Big) =$

$\frac{d}{dx} \Big( \frac{d}{dx} \big( \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} \big) \Big)$ (E).

Mas

$\frac{d}{dx} \big( \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} \big) = \frac{du}{dx} (x,t) = \big( \frac{d}{dx} \sin \frac{n \pi x}{L} \big) e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} + \big( \frac{d}{dx} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} \big) \sin \frac{n \pi x}{L} =$

$\frac{n \pi}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} + 0. \sin \frac{n \pi x}{L} = \frac{n \pi}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}$ (F)

Diferenciando mais uma vez, temos:

$\frac{d}{dx} \big( \frac{n \pi}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t}\big) = \frac{n \pi}{L}(-\frac{n \pi}{L}) \sin \frac{n \pi x}{L} e ^{(- \frac{n^2\pi ^2k^2}{L^2})t} + 0.\frac{n \pi}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} =$