Se possível, justique ao máximo e o necessário, desde já, muito obrigado!
1) Mostre que G(x) = x ln x − x é uma primitiva de g(x) = ln x.
2) Considere a função G(x) = sen(kx)/k e mostre que ∫cos(kx)dx = sen(kx)/k + C, com C ∈ R.
3) Determine a função f que satisfaz as seguintes condições do problema de valor inicial (P.V.I) tal que
f'(x) = 3x² e f(0) = 2.
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Olá Levi, boa noite.
Para que possamos resolver a questão 3, deveremos primeiramente integrar a equação dada, como se segue:
f'(x)=3x^2
Int(3x^2)=3x^3/3=x^3+c
Em seguida, deveremos aplicar a segunda condição (f(0)=2), à integral obtida, conforme será mostrado abaixo:
f(0)=(0)^3+c=2
c=2
Equação da primitiva com o PVI, será:
x^3+2
Espero ter sido esclarecedor, qualquer dificuldade estou à disposição. Obrigado e até mais.
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1) G(x) é uma primitiva. Se derivarmos, G(x)'=g(x)
Desta forma:
onde primeiro termo é a derivada de um produto: (v.u)'=v'u+vu'. Desta forma, continuando.
2)
G(x) neste problema é uma das primigivas de cos(kx). Portanto, integrando-se cos(kx) obtém-se as possíveis primitivas.
Esta integral é feita por substituição:
Desta forma:
Onde a constante é real e no nosso caso, para chegar à primitiva proposta C=0
e desta forma G(x) = sen(kx)/k é a primitiva g(x) = cos(kx).
3) Para definir f(x) nesta quetão basta integrar a derivada.
como f(0)=2
então: C=2
e portanto:
Satisfazendo desta forma as condições do problema:
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