Melhor resposta
Essa foi a melhor resposta,
escolhida pelo autor da dúvida
Olá, Camila. Tudo bem?
Não sei se entendi exatamente a necessidade de x, e y serem inteiros. A resposta funciona (verifique!) mesmo se x e, portanto, y, for real (positivo).
De qualquer maneira, aqui segue uma ideia para solução. É fácil ver que devem existir infinitos pares (x,y) que satisfaçam essa igualdade (você pode enxergar isso como um sistema de 1 equação, e 2 incógnicas). O que podemos fazer é dar a relação entre x e y. Isso é, dado um valor de x, qual os valores possíveis para y? E esses não são infinitos.
Primeiro, desenvolva a expressão x(x+1)(x+2)(x+3), fazendo as distributivas necessárias. Isso deve resultar em x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x
Assim, substituindo isso na igualdade que você forneceu:
y^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 (*)
Agora precisamos fatorar essa expressão da direita para ver se conseguimos extrair uma raiz quadrada de ambos os lados. As passagens para fatorar são as seguintes:
x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + 9x^2 + 6x + 1 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2
Onde usamos, na última passagem, que 9x^2 + 6x + 1 = (3x+1)^2
O truque agora é notar que x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2 é o trinômio quadrado perfeito de x^2 + 3x + 1 (Você pode definir z = 3x+1 e desenvolver, se estiver em dúvida). Ou seja,
(x^2 + 3x + 1)^2 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2
Logo, voltando a (*):
y^2 = (x^2 + 3x + 1)^2
Como só estamos interessados em valores positivos de x e y, podemos simplesmente extrair a raiz quadrada de ambos os lados dessa expressão sem preocupações, o que nos leva a:
y = x^2 + 3x + 1 = x(x + 3) + 1
Ou seja, os pares ordenados que são a solução que você procura são, em função de x (positivo):
( x(x + 3) + 1, x )
Contudo, devo acrescentar que não tenho absoluta certeza de que esse é o método mais simples para resolver esse problema.
Se alguma passagem não tiver ficado clara, me avise que tentarei explicar de outra forma.
Espero ter ajudado um pouco.
Abraço!