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a) Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois repetidos?
Para contar o número de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos, podemos usar a abordagem de contagem complementar.
Primeiro, vamos calcular o total de números de três algarismos. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9) e 10 opções para os dois algarismos restantes (0 a 9).
Então, o total de números de três algarismos é 9×10×10=900.
Agora, vamos calcular o número de números de três algarismos sem algarismos repetidos. Para isso, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9), 9 opções para o segundo algarismo (0 a 9, excluindo o primeiro algarismo), e 8 opções para o terceiro algarismo (0 a 9, excluindo os dois primeiros algarismos).
Então, o total de números de três algarismos sem algarismos repetidos é 9×9×8=648.
Portanto, o número de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos é o complemento do número de números sem algarismos repetidos, ou seja, 900?648=252.
b) Quantos números de cinco algarismos têm pelo menos quatro repetidos?
Da mesma forma, podemos usar a abordagem de contagem complementar.
Primeiro, vamos calcular o total de números de cinco algarismos. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9) e 10 opções para os quatro algarismos restantes (0 a 9).
Então, o total de números de cinco algarismos é 9×104=90,000.
Agora, vamos calcular o número de números de cinco algarismos sem algarismos repetidos. Para isso, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9), 9 opções para o segundo algarismo (0 a 9, excluindo o primeiro algarismo), 8 opções para o terceiro algarismo (0 a 9, excluindo os dois primeiros algarismos), 7 opções para o quarto algarismo (0 a 9, excluindo os três primeiros algarismos), e 6 opções para o quinto algarismo (0 a 9, excluindo os quatro primeiros algarismos).
Então, o total de números de cinco algarismos sem algarismos repetidos é 9×9×8×7×6=30,240.
Portanto, o número de números de cinco algarismos com pelo menos quatro algarismos repetidos é o complemento do número de números sem algarismos repetidos, ou seja, 90,000?30,240=59,760.
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