Um poliedro convexo tem 18 faces triangulares e 4 faces pentagonais. Calcule: a) o número de arestas b) o número de vértices c) a soma dos ângulos internos das faces
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V + F = A + 2 . (I)
Na fórmula acima, V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas.
Já temos que o poliedro da sua questão tem 15 faces, pois são:
8 faces pentagonais + 4 faces triangulares + 2 faces quadrangulares + 1 face hexagonal. Logo: 8+4+2+1 = 15.
Agora veja isto: as 8 faces pentagonais (logo: 8*5 = 40), mais as 4 faces triangulares (logo: 4*3 = 12), mais as 2 faces quadrangulares (logo: 2*4 = 8) e mais a única face hexagonal (logo: 1*6 = 6) vão gerar um número de arestas em dobro.
Dessa forma, poderemos fazer a seguinte igualdade, para conhecer o número correto de arestas desse poliedro:
2A = 40+12+8+6
2A = 66
A = 66/2
A = 33 <--- este é o número correto de arestas do poliedro da sua questão.
Dessa forma, vamos na expressão (I), que é esta:
V + F = A + 2 substituindo F por "15" (que é o número de faces) e "A" por 33 (que é o número correto de arestas), teremos:
V + 15 = 33 + 2
V + 15 = 35
V = 35 - 15
V = 20 < . Este é o número de vértices do poliedro da sua questão.
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