Alguém pode me ajudar nessa questão?

Professor David C.

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Respondeu há 3 anos

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Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Considere os pontos A = (-raiz 3, 3), B=(-raiz 3,-1) e C=(raiz3,1)

a) Determine o ângulo entre os vetores AB e AC

Solução.

Note que

AB = B - A = (0, -4),  |AB| = 4

AC = C - A = (2*raiz 3, -2), |AC| = 4

Sejam

u = AB/|AB| = (0, -1)

v = AC/|AC| = (raiz 3, -1) /2

e seja theta o ângulo entre AB e AC, então:

cos (theta) = AB*AC = 1/2

Portanto: theta = pi/3

b) Determine as equações paramétricas da reta r que contém os pontos B e C.

Solução.

A reta r que contém os pontos B e C é:

r : X = B + t*w, (t é um número real qualquer)

w = BC/|BC|

então:

BC = C - B = (2*raiz 3, 2), |BC| = 4

w = BC/|BC| = (raiz 3, 1)/2

logo:

r : X = (-raiz 3, -1) + t(raiz 3, 1)/2

Considere X = (x, y), então:

x = -(raiz 3) + t*(raiz 3)/ 2

y = -1 + t/2

onde t é um número real qualquer.

c) Determine a equação cartesiana da mediatriz m do segmento BC (m contém o
ponto médio M de BC e e é perpendicular a ele).

Solução.

Considere M = (B+C)/2 = (raiz 3 - raiz 3, 1 -1) / 2 = (0, 0)

Calculamos a pendiente da reta BC:

pendiente_BC = (1 -(-1) )/ (raiz 3 - (-raiz 3)) = 2/(2 raiz 3) = 1/(raiz 3)

Note que a reta mediatriz é perpendicular a reta BC, ou seja

pendiente_m*pendiente_BC = -1

Logo: pendiente_m = -1/(1/raiz 3) = - raiz 3

Portanto a reta mediatriz é:

m: y - 0 = pendiente_m*(x - 0)

m: y = -(raiz 3) x

d) Determine a equação cartesiana da reta r.

Solução.

Pelo item b, conhecemos as equações paramétricas de r:

r : X = (-raiz 3, -1) + t(raiz 3, 1)/2

x = -(raiz 3) + t*(raiz 3)/ 2 = (raiz 3) (-1 + t/2)

y = -1 + t/2

Logo, a equação cartesiana da reta r é:

r: x = (raiz 3)y

e) Determine o ponto D, diferente de A, tal que d(A, M) = d(D, M) e D pertençam a m.

Solução.

Considere D em m:

D = (a,b) tal que b = -(raiz 3) a, logo D = (a, -(raiz 3) a)

satisfazendo d(A,M) = d(D,M) com A = (-raiz 3, 3), M = (0,0), isto é:

d(A,M)² = (0 - (-raiz 3))² + (0 - 3)² = 3 + 9 = 12

d(D,M)² = (0 - a)² + (0 - (-raiz 3)a)² = a² +3a² = 4a²

Logo:

d(A,M)² = d(D,M)² 

12 = 4a²

3 = a²

Isto é:

a₁ = -(raiz 3)

a₂ = raiz 3

• Se a = a₁ = -(raiz 3), então D = (-raiz 3, -(raiz 3)(-raiz 3) ) = (-raiz 3, 3) = A
• Se a = a₂ = raiz 3, então D = (raiz 3, -(raiz 3)(raiz 3) ) = (raiz 3, -3)
  

Portanto

D = (raiz 3, -3)

f) Mostre que ABDC é um paralelogramo

Solução.

Note que

AB = B - A = (0, -4),  |AB| = 4

AC = C - A = (2*raiz 3, -2), |AC| = 4

BD = D - B = (2*raiz 3, -2),  |BD| = 4

CD = D - C = (0, -4), |CD| = 4

Note que

AB || CD,  |AB| = |CD|

AC || BD,  |AC| = |BD|

Além disso:

AB + BD = (2*raiz 3, -6) = AC + CD

Portanto, ABCD é um paralelogramo com lados iguais.

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Whatsapp: (11) 994414817

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

A questão é um pouco longa, então tentarei resumir mas de forma que dê para entender.

(a) Para determinar o ângulo entre os vetores pedidos, vamos trabalhar com o conceito do produto escalar. Se você se lembrar uma das formas do produto escalar é dada através de uma interpretação geométrica que nos permite concluir o valor do ângulo entre os dois vetores em questão. Esta forma é 

AB•BC = ||AB||.||BC||cosq         (*)

Onde q, é o ângulo entre os vetores AB e AC. Para encontrar as coordenadas centradas em (0,0) dos vetores AB e BC basta calcularmos as coordenadas do ponto extremo menos as coordenadas da origem, por exemplo, em AB devemos ter AB = (-?3,-1)-(-?3,-3) = (0,-4) e fazendo o mesmo para AC, temos AC = (2sqrt(3),-2). Agora, calculando a norma de AB e de AC, da seguinte forma ||AB|| = sqrt( 0²+(-4)²) = sqrt16 = 4, da mesma forma, para AC temos ||AC|| = sqrt12. Ademais, o produto escalar entre AB e AC, fica fácil de calcular, tendo em mãos as coordenadas dos vetores e é dado por AB•AC = 0.2?3+(-4).(-2) = 8. Agora, temos tudo o que precisamos para substituir em na fórmula enunciada. Substituindo todos os valores e resolvendo a conta, temos  q = cos^-1(sqrt3/3).

(b) Primeiro, vamos definir o vetor diretor da reta r. Como a reta contém os pontos B e C, nada mais justo que tomarmos como vetor diretor, o vetor BC. Como no intem (a), calculamos BC subtraindo as coordenadas dos pontos C e B. Assim, BC = (2sqrt3,2), como este vetor é o que dá a direção da reta, sua intensidade, ou norma, não tem muita importância, assim, para simplificar os cálculos, tomamos um vetor com a metade do comprimento (OBSERVAÇÃO: Você pode usar o vetor encontrado anteriormente sem dividir seu comprimento), assim tomemos v = (sqrt3,1) o vetor diretor de r. Agora precisamos de um ponto, mas no enunciado já foram dados dois, assim, a escolha depende de quem estiver resolvendo. Tomemos então o ponto C. Assim, seja (x,y) um ponto de r, então esse ponto satisfaz a seguinte equação paramétrica:

r: (x,y) = (sqrt3,1) + t(sqrt3,1).

(c) Vamos resolver este item por partes. Primeiro, calculemos o ponto medio do vetor BC:

P = (((sqrt3 + (-sqrt3))/2, (1 + (-1))/2) = (0,0).

Agora, o vetor diretor de m é perpendicular à BC, ou seja, o produto escalar de (a,b) por BC = (?3,1) é zero, onde (a,b) é o vetor diretor de m. Assim, basta calcularmos seu produto escalar e igualar à zero, dessa forma:

(a,b)•(sqrt3,1) = 0 que implica em a.sqrt(3)+b = 0.

Dai, podemos tomar qualquer valor de a, que o valor de b é dado automaticamente, ou vice versa. Por simplicidade, tomemos a = sqrt3, assim, substituindo este valor na equação anterior, obtemos b = -3. Daí, segue que (a,b) = (sqrt3,-3). Observe agora, que temos um ponto pelo qual m passa e o vetor diretor de m, daí, a equação paramétrica sai como no item (b):

m: (x,y) = (0,0) + (sqrt3,-3)t.

Agora, faremos o seguinte, observe que somando as parcelas do membro direito da equação acima, e multiplicando o ponto (sqrt3,-3) por t, isto é, apenas reescrevendo a equação, temos que (x,y) = (sqrt3t,-3t), isso nos diz que x = sqrt3 t e y = -3t. Agora, basta isolar t em cada igualdade para obter t = x/sqrt3 e t = -y/3. Agora é só substituir o valor de t de uma das igualdades na outra, isolar y e obtemos a equação cartesiana de m, como segue:

m: y = -sqrt3x

(d) Este item é simples, basicamente uma repetição do que foi feito no final do item anterior, temos a equação paramétrica de r, repetindo os mesmos argumentos do intem (c), podemos checar facilmente que:

r: y = x/3 - (3-sqrt3)/3.

OBSERVAÇÃO: Note que houve uma certa manipulação algébrica para simplificação da equação da reta.

(e) Observe que os pontos D que distam d(A,M) de M são pontos de uma circunferência de centro em M e raio d(A,M). Como M = (0,0) e d(A,M) = sqrt12 (Basta calcular a norma do vetor AM, como foi feito no item (a), pois de fato, a norma de um vetor dado por dois pontos é igual à distância entre esses dois pontos, por definição). Assim, esses pontos satisfazem a equação x²+y²=12 (esta é a equação da circunferência de centro (0,0) e raio sqrt(12). Mas também, D deve estar em m, logo também satisfaz a equação de m, encontrada no item (c). Ou seja, encontrar o ponto D e resolver o sistema:

x²+y²=12

y = -sqrt3x

Com a restrição de que a solução desse sistema não pode ser o ponto A. Substituindo a segunda equação na primeira e isolando x encontramos dois valores para x, são eles sqrt3  e -sqrt3 . Mas note que tomando o valor negativo de x é fácil de observar que ao substituir na segunda equação, ele nos retorna um valor de y de tal forma que a solução encontrada coincide com a restrição, vulgo, o ponto A. Portanto, o sistema com a restrição possui apenas uma solução, quando o valor de x é sqrt3, resultando no ponto D = (sqrt3,-3).

(f) Finalmente, checar que ABCD é um paralelogramo é o mesmo que checar as sguintes coisas:

AD•BC = 0, ||AB|| = ||CD|| e ||BD|| = ||AC||.

Já calculamos várias vezes a coordenada de um vetor dado por dois pontos, bem como a norma de um vetor, assim, essa tarefa deve ser simples a partir daqui. Sendo assim, passarei apenas os valores, mas apenas para ressaltar, fizemos coisas análogas nos itens (a), (b), (c)  e (e). Pois bem, calculando tudo temos: AD =(2sqrt3,-6), BC = (2sqrt3,2), ||AB|| = 4 = ||CD|| e ||BD|| = 4 = ||AC||. Observe que duas das igualdades já foram satisfeitas. Agora, mostremos que AD•BC = 0, mas antes, lembremos o que isso significa: o produto escalar entre dois vetores se anular, considerando ambos os vetores com norma diferente de zero, significa que algum termo na equação (*) se anula, mas como as normas são não nulas, isso significa que o único termo que deve se anular é o cosseno, assim, sendo cosq= 0 devemos ter q = p/2, ou seja, um ângulo reto. Retomando a definição de paralelogramo vemos de onde tiramos a necessidade dessa última igualdade ser satisfeita. Pois bem, de posse das coordenadas de AD e BC fica fácil computar esse produto escalar como em (a), dessa forma: AD•BC = 4.3+(-6).2 = 12-12 = 0.

Espero ter ajudado! =)

(OBS: Percebi que o editor não reconhece corretamente certos caracteres, assim, editei o texto e optei pelo uso de "sqrt" no lugar do símbolo da raíz quadrada.)