Análise .combinatória

Professora Aline S.

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Respondeu há 1 semana

a) A quantidade de números assim formados é a permutação dos 6 algarismos, a saber, 6! = 720.

b) Para determinar a posição ocupada pelo número 837159, precisamos contar quantos números estão antes dele. Ora, antes dele constam os números que começam por
a. 1, 3, 5 e 7, a saber, 4 .5! = 4 . 120 = 480,
b. 81, a saber, 4! = 24;
c. 831, a saber, 3! = 6;
d. 835, a saber, 3! = 6.
Isso totaliza 480 + 24 + 6 + 6 = 516. Então, a posição ocupada pelo número 837159 é a 517ª posição.

c) Os primeiros números da lista começam por 1, que totalizam 5! = 120. A seguir, temos os números que começam por 3, que também totalizam 5! = 120. Então o número que ocupa a 200ª posição começa por 3. Destes, os primeiros, que começam por 31, 35 e 37, totalizam 3 . 4! = 3 . 24 = 72. Assim, o número que ocupa a 192ª posição é 379851, e o número procurado começa por 38. Há 3! = 6 destes que começam por 381. O número 381975 ocupa a 198ª posição. Os dois próximos números são 385179 e 385197. Este último ocupa a 200ª posição.

Professor Gerson R.

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Respondeu há 1 semana

Utilizando os dígitos 1, 3, 5, 7, 8 e 9, formar números de seis dígitos usando cada dígito exatamente uma vez por número. A lista desses números é organizada em ordem lexicográfica. As tarefas são:

a) Determinar a quantidade total de números na lista.

b) Identificar a posição do número 837159 na lista.

c) Descobrir qual número ocupa a 200ª posição na lista.

Resolução

Parte (a) - Quantidade de números na lista

Cada número é uma permutação única dos seis dígitos fornecidos. O número de permutações de seis elementos é dado pelo fatorial de 6:

$6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

Portanto, existem 720 números diferentes que podem ser formados.

Parte (b) - Posição do número 837159 na lista

Para determinar a posição do número 837159 na lista, contamos quantas permutações existem antes dele, considerando números que começam com:

Dígitos menores que 8: Os dígitos 1, 3, 5 e 7 são menores que 8. Cada um pode ser seguido por $5!$ permutações dos cinco dígitos restantes: $5!=4\times 120=480$

Dígito 8, segundo dígito 1 (81XXXX): Permutações dos quatro dígitos restantes (3, 5, 7, 9): $4!=24$

Dígito 8, segundo dígito 3, terceiro dígito menor que 7: Dígitos 1 e 5, cada um podendo ser seguido por $3!$ permutações dos três dígitos restantes: $3!=2\times 6=12$

Somando essas possibilidades, temos: $480+24+12=516$

Assim, a posição de 837159 é a 517ª.

Parte (c) - Número na 200ª posição na lista

Para determinar o número na 200ª posição, seguimos uma análise passo a passo:

Primeiro dígito: Escolhemos 3. As permutações iniciando com 1 cobrem as posições 1-120. Com o 3 como primeiro dígito, cobrimos as posições 121-240.

Segundo dígito: Escolhemos 8. Com dígitos 1, 5, 7, 9 restantes, as permutações iniciando com 38 cobrem as posições de 193 a 216.

Terceiro dígito: Escolhemos 5. Com dígitos 1, 7, 9 restantes, as permutações começando com 385 cobrem as posições de 199 a 204.

Quarto dígito: Escolhemos 1. Com dígitos 7, 9 restantes, as permutações começando com 3851 cobrem as posições de 199 a 200.

Quinto dígito: Escolhemos 9. O único dígito restante é 7.

Sexto dígito: Com o dígito 7 restante, completamos a sequência.

Portanto, o número na 200ª posição é 385197.

Conclusão

A lista contém 720 números distintos.

O número 837159 está na 517ª posição, e o número na 200ª posição é 385197.

Cada etapa foi detalhadamente explicada para assegurar uma compreensão clara de como os números são construídos lexicograficamente.

Um abraço,

Professor Marcos E.

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Respondeu há 2 dias

a) Quantidade de números na lista: Para calcular a quantidade de números na lista, podemos usar o conceito de permutações. Como temos 6 algarismos e queremos formar números de 6 dígitos, a quantidade de números será $6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$.

Portanto, a resposta para a parte a) é 720 números.

b) Qual posição ocupa o número 837 159 na lista: Para determinar a posição do número 837 159 na lista, precisamos encontrar quantos números vêm antes dele na ordem crescente.

Os números que começam com 8 vêm antes dos que começam com 9. Como temos 5 algarismos disponíveis para os cinco dígitos restantes, temos $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ números que começam com 8.

Além disso, dentro dos números que começam com 8, temos 4! = 24 números que começam com 83.

Dentro dos números que começam com 83, temos 3! = 6 números que começam com 837.

Portanto, até o número 837 159, temos $120+24+6=150$ números.

Logo, o número 837 159 ocupa a posição 151 na lista.

c) Qual número ocupa a 200ª posição na lista: Para encontrar o número que ocupa a 200ª posição na lista, podemos usar um raciocínio semelhante ao anterior.

Primeiro, precisamos determinar quantos números estão antes da posição 200 na lista. Isso pode ser feito contando quantos números cabem em cada "grupo" de números que começam com o mesmo dígito inicial.

Como 720 é o total de números na lista e 720/6 = 120, cada grupo de números que começa com o mesmo dígito inicial tem 120 números.

Portanto, o número que ocupa a posição 200 na lista está no segundo grupo de números que começam com 8.

Dentro deste grupo, o número que ocupa a posição 200 é o sexto número, pois 200 - 120 = 80, e 80/24 (a quantidade de números em cada subgrupo de dígitos iniciais 83) é maior que 3 e menor que 4. Assim, estamos no sexto subgrupo.

Portanto, o número que ocupa a 200ª posição na lista é o sexto número do grupo que começa com 837, que é 839157.

Professora Julia T.

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Respondeu há 1 semana

385197 ocupa a 200ª posição.