Professora
Ana V.
Respondeu há 5 meses
Para encontrar os vértices do retângulo no espaço, primeiro precisamos encontrar as interseções entre as retas r e s.
Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta s. Dadas as proporções entre x, y e z, podemos escrever:
x/4 = (5?y)/2 = (4?z)/4
Podemos escolher um parâmetro, por exemplo, ?, e expressar as variáveis em termos desse parâmetro:
x = 4?
5?y = 2?
4?z = 4?
Resolvendo essas equações, obtemos:
x = 4?
y = 5?2?
z = 4?4?
Agora, vamos encontrar as interseções entre as retas r e s, igualando as respectivas coordenadas:
4 + (-2?) = 4?
5 + ? = 5 - 2?
-1 + 2? = 4 - 4?
Resolvendo essas equações, encontramos o valor de ?:
-2? + 4 = 4?
6? = 4
? = 2/3
Agora que temos o valor de ?, podemos substituí-lo nas equações paramétricas das retas r e s para encontrar as coordenadas dos vértices do retângulo.
Para a reta r:
x = 4 + (-2 * 2/3) = 4 - 4/3 = 8/3
y = 5 + (2/3) = 15/3 + 2/3 = 17/3
z = -1 + (2 * 2/3) = -1 + 4/3 = 1/3
Para a reta s:
x = 4 * (2/3) = 8/3
y = 5 - 2 * (2/3) = 5 - 4/3 = 11/3
z = 4 - 4 * (2/3) = 4 - 8/3 = 4/3
Portanto, os vértices do retângulo no espaço são: A(8/3, 17/3, 1/3), B(8/3, 11/3, 4/3), C(4/3, 11/3, 4/3) e D(4/3, 17/3, 1/3).
Agora, vamos calcular o comprimento dos lados do retângulo para encontrar a sua área.
Lado AB:
?[(8/3 - 8/3)^2 + (17/3 - 11/3)^2 + (1/3 - 4/3)^2]
= ?[(0)^2 + (6/3)^2 + (-3/3)^2]
= ?[(0) + (2)^2 + (-1)^2]
= ?[0 + 4 + 1]
= ?5
Lado BC:
?[(8/3 - 4/3)^2 + (11/3 - 11/3)^2 + (4/3 - 4/3)^2]
= ?[(4/3)^2 + (0)^2 + (0)^2]
= ?[(16/9) + 0 + 0]
= ?(16/9)
= 4/3
Como o retângulo tem dois lados iguais, podemos considerar que AB e BC são os lados adjacentes do retângulo. Portanto, o perímetro do retângulo é 2(?5 + 4/3) = 2?5 + 8/3.
Sabemos que o perímetro do retângulo é 6?5, então podemos igualar as duas expressões e resolver a equação:
2?5 + 8/3 = 6?5
Isolando ?5:
2?5 - 6?5 = -8/3
-4?5 = -8/3
?5 = (8/3) / 4
?5 = 2/3
Agora, vamos calcular a área do retângulo usando a fórmula da área:
Área = (lado AB) * (lado BC)
Área = ?5 * (4/3)
Área = (4?5) / 3
Portanto, a área do retângulo é (4?5) / 3, aproximadamente igual aÁrea ? 2,68 unidades quadradas (considerando duas casas decimais).