Base de p2

Boa tarde, Hermano! Para um dado conjunto, S = {1 + x + x², x + x², x²}, ser base do espaço P2, ele tem que ser (i) linearmente independente (LI) e (ii) gerador desse mesmo espaço. Então, para verificar a primeira condição, fazemos a1(1 + x + x²) + a2(x + x²) + a3(x²) = 0 , a1 + (a1 + a2)x + (a1 + a2 + a3)x² = 0 . Como a condição acima só é satisfeita se a1 = a2 = a3 = 0, então o conjunto b é LI. Para verificar a segunda condição tomamos um elemento qualquer p(x) pertencente a P2 e vemos se ele pode ser escrito por um combinação linear dos elementos do conjunto S, ou seja p(x) = b1 + b2x + b3x² = a1(1 + x + x²) + a2(x + x²) + a3(x²) , b1 + b2x + b3x² = a1 + (a1 + a2)x + (a1 + a2 + a3)x² De onde eu tiro as equações, a1 = b1 a1 + a2 = b2 a1 + a2 + a3 = b3 que podem ser resolvidas para encontrar a1 = b1 , a2 = b2 - b1 , a3 = b3 - b2 . Como os elementos do conjunto S são LI e podem ser usados para gerar um elemento qualquer no espaço de P2 com coeficientes reais então ele é uma base de P2. Espero ter ajudado. Bom estudo!