Cálcular a derivada

Question

A expressão da derivada y' para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão e^(3y²+1)-5x³=2x².y³+7/x² é?

Michel R. · Answer

Você deve derivar em x em ambos os lados da igualdade. Como y=f(x), então você deve usar a regra da cadeia no primeiro termos, pois temos uma função composta, e regra do produto no primeiro termo do lado direito da igualdade. Vamos derivar cada termo da equação separadamente e depois juntá-los  d(e^(3y²+1))/dx = 6y*dy/dx*e^(3y²+1).  d(-5x³)/dx = -15x².  d(x²y³)/dx=2x*y³+x²(3y²*dy/dx).  d(7/x²)/dx=-14/x³.  Unindo os termos de acordo com a equação dada temos  6y*dy/dx*e^(3y²+1)-15x²=2x*y³+x²(3y²*dy/dx)-14/x³ =>  dy/dx*[6y*e^(3y²+1)-3y²]=15x²-14/x³ =>  dy/dx=(15x²-14/x³)/[6y*e^(3y²+1)-3y²]  Aqui eu encontrei y' em termos de x e y. Em princípio, para deixar y' apenas em função de x, você pode isolar y na equação original e substituir no resultado acima. Quando isso não é possível, deixamos a resposta em termos de x e y mesmo.  Obs.: Confira a derivada de cada termo e depois confira as contas para ver se eu não errei nada.

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