Sendo X e Y racionais tal que \sqrt(y) é irracional e x-2 \sqrt(y)=2x-7 \sqrt(18-2y), calcule X e Y.
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Oi Juliana, tudo bom? Se você tiver certeza do enunciado:
Calcular e
racionais tais que
é irracional e vale a equação abaixo.
| (1): |
Ora, subtraindo de ambos os lados e depois multiplicando dos dois lados por
, podemos rearranjar a equação (1) da seguinte forma:
| (2): |
Agora elevamos ambos os lados da equação (2) ao quadrado e fica:
| (3): |
onde usamos no lado esquerdo da equação (2) para equação (3) a fórmula do binômio .
Agora note que +
e
são racionais pois soma, subtração e produto de racional com racional dá racional.
Então a equação (3) ali em cima só pode ser verdade se é igual a zero. Isso nos diz que ou
ou
são zero.
Como é irracional, não pode ser zero, que é um racional, então
.
Agora retornamos à equação (1) colocando , temos:
que elevando ambos os lados ao quadrado fica:
Ou seja,
e agora precisamos simplesmente resolver uma equação do primeiro grau.
Somando de ambos os lados, temos
Dividindo ambos os lados por , temos
.
Resposta: e
.
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