Calculo 1 nao sei como fazer

Professora Claudia S.

Respondeu há 4 anos

Assíntotas oblíquas

A noção de assíntota permitiu obter informações a respeito do comportamento qualitativo de uma função longe da origem, em direções paralelas aos eixos de coordenadas: ou horizontal, ou vertical.

Veremos nesta seção que existem funções cujo gráco, longe da origem, se aproxima de uma reta que não é nem vertical, nem horizontal, mas oblíqua, isto é de inclinação nita e não nula. Comecemos com um exemplo.

Exemplo 5.50. Considere a funçãoÉ claro que esta função possui a reta x = 0 como assíntota vertical, já que

Por outro lado, f não possui assíntotas horizontais, já que

Apesar de não possuir assíntota horizontal, vemos que longe da origem, o gráco parece se aproximar de uma reta de inclinação positiva. Como determinar essa reta?

Para começar, demos uma idéia do que está acontecendo. Observe primeiro queLogo, quando x for grande, a contribuição do termoé desprezível em relação a x/2 e f(x) é aproximada por

Ora, a função x —› x/2 é uma reta de inclinação 1/2 . De fato, esboçando o gráco de f junto com a reta y = x/2 :

Podemos agora vericar que de fato, quando x —› ?, a distância entre o gráco de f e a reta y = x/2 tende a zero:

(5.33)

Portanto, a reta y = x/2 é chamada de assíntota oblíqua da função f.

O exemplo anterior leva naturalmente à seguinte denição:

Defenição 5.7. A reta de equação y = mx + h é chamada de assíntota oblíqua para f se pelo menos um dos limites abaixo existe e é nulo:

(Obs: quando m = 0, essa denição coincide com a de assíntota horizontal.)

Como saber se uma função possui uma assíntota oblíqua? E se ela tiver uma, como identicar os coecientes m e h?

Para começar, observe que h pode ser obtido a partir de m, já que

é zero se e somente se

(5.34)

Para identicar m, podemos escrever

e observar que para este último limite existir e ser igual zero quando x —›±?, é necessário queComoisso implica que

(5.35)

Assim, vemos que se f possuir uma assíntota oblíqua, então esta é da forma y = mx+h, onde a inclinação é dada por (5.35), e a abcissa na origem dada por (5.34). Por outro lado, é claro que se os dois limites em (5.35) e (5.34) existirem e forem ambos nitos, então f possui uma assíntota oblíqua dada por y = mx + h. É claro que os limites x —› +? precisam ser calculados separadamente, pois uma função pode possuir assíntotas oblíquas diferentes em +? e -?.

Voltando para o Exemplo 5.50, temos

e, como já visto anteriormente,

Logo,é assíntota oblíqua. Vejamos como usar o critério acima em outros exemplos.

Exemplo 5.51. ConsiderePrimeiro, tentaremos procurar uma inclinação. Pela presença da raiz quadrada, cuidamos de distinguir os limites x —› -? e x —› -?:

Em seguida calculemos

Assim, f possui a assíntota oblíqua y = x+1 em +?. Refazendo contas parecidas para x —›- ?, obtemos

logo f possui a assíntota oblíqua y = -x - 1 em -?. De fato (observe que f tem domínio D = (-?;-2] U [0;+?)),

Exemplo 5.52. Considere f(x) = x + ?x, denida somente se x > 0. Então

Mas, como

vemos que f não possui assíntota oblíqua (apesar de

OUTRAS EXPLICAÇÕES:

Calcule o seguinte limite, caso exista:

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π x)}{\sin (23 x)}$

$\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} \frac{\sin (π x)}{\sin (23 x)} & = & lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (π x)}{x}}{\frac{\sin (23 x)}{x}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{\frac{π \sin (π x)}{π x}}{\frac{23 \sin (23 x)}{23 x}} \\ = & lim_{x \to 0} \frac{π}{23} \frac{\frac{\sin (π x)}{π x}}{\frac{\sin (23 x)}{23 x}} . \end{array}$

Fazendo as mudanças de variáveis $y = π x$ e $t = 23 x$ , temos que

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π x)}{π x} = lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{y} = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (23 x)}{23 x} = lim_{y \to 0} \frac{\sin (t)}{t} = 1$ .

Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:

$\begin{array}{rcl} lim_{x \to 0} \frac{\sin (π x)}{\sin (23 x)} & = & lim_{x \to 0} \frac{π}{23} \frac{\frac{\sin (π x)}{π x}}{\frac{\sin (23 x)}{23 x}} \\ = & \frac{π}{23} \frac{1}{1} \\ = & \frac{π}{23} . \end{array}$

1341

Obtenha as assíntotas verticais de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{(x - 1)^{2}}$ .

As assíntotas verticais são os pontos $x$ tais que o limite é infinito.

Para $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{(x - 1)^{2}}$ temos que:

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 1}{(x - 1)^{2}} = \infty$ ,

Logo $x = 1$ é uma assíntota vertical de $f$ . Como não há mais pontos no domínio de $f$ que podem levar a um limite infinito, esta é a única assíntota.

1340

Avalie o limite $lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\sin (23 x)}$ .

$7 / 23$ .

Calcule o limite $lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x - 3}{6 x^{2} + 28 x + 2}$ .

$\infty$

730

Calcule o seguinte limite:

$lim_{x \to \infty} \log_{3} x$ .

$\infty$ .

757

Seja $f : R \to R$ a função
definida por

f (x) = {x 2 2 x ? 1 se x ? 1 se x > 1,

e defina

g (x) = lim_{x \to h} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

. Mostre que

g (x)

é contínua.

Calcule os seguintes limites:

$lim_{x \to p} \frac{\sin (x^{2} - p^{2})}{x - p}$
$lim_{y \to 3} \frac{\sin (y^{2} - 9)}{y - 3}$
$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x^{2} - 16)}{x - 4}$

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 12}{7 x^{3} - 14 x^{2} - 21 x}$ .

206

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$f (1)$

168

Seja $f$ uma função contínua em $[- 1, 1]$ sendo que $f (- 1) = - 10$ e $f (1) = 10$ . Existe um valor $- 1 < c < 1$ tal que $f (c) = 11$ ? Por quê?

Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $- 10$ e $10$ ; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$ .

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f (x) = \cos (x)$

$lim_{x \to - \infty} f (x)$
$lim_{x \to \infty} f (x)$

939

Calcule, pela definição, o limite $lim_{x \to 4} x^{2} + x - 5 = 15$

Considere $ϵ > 0$ arbitrário. Queremos encontrar $δ > 0$ tal que quando $| x - 4 | < δ$ , $| f (x) - 15 | < ϵ$ .
Considere $| f (x) - 15 | < ϵ$ , lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $| x - 4 |$ :

| f (x) ? 15 | < ? | x 2 + x ? 5 ? 15 | < ? | x 2 + x ? 20 | < ? | x ? 4 | ? | x + 5 | < ? | x ? 4 | < ? / | x + 5 |

Assumindo

x

próximo de

4

, podemos assumir, por exemplo, que,

3 < x < 5

. Portanto

3 + 5 < x + 5 < 5 + 5 8 < x + 5 < 10 1 10 < 1 x + 5 < 1 8 ? 10 < ? x + 5 < ? 8

Seja

δ = \frac{ϵ}{10}

. Então:

| x ? 4 | < ? | x ? 4 | < ? 10 | x ? 4 | < ? x + 5 | x ? 4 | ? | x + 5 | < ? x + 5 ? | x + 5 |

Assumindo

x

próximo de 4,

x + 5

é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.

| x ? 4 | ? | x + 5 | < ? x + 5 ? (x + 5) | x 2 + x ? 20 | < ? | (x 2 + x ? 5) ? 15 | < ?,

que é o que desejávamos provar.

1132

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

Se $lim_{x \to 5} f (x) = \infty$ , então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ , então $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty$ .
Se $lim_{x \to 5} f (x) = \infty$ , então $f$ tem uma assíntota vertical em $x = 5$ .
$\infty / 0$ não é uma forma indeterminada.

Falsa.
Falsa
Verdadeira
Verdadeira

Considere a função $f (x) = {\begin{cases} 1 - 2 x & se x \neq - 1 \\ 0 & se x = - 1 \end{cases}$ .

Trace o gráfico de $f$ .
Usando limites laterais, determine se o limite $lim_{x \to - 1} f (x)$ existe ou não.

106

Mostre, usando a definição, que a função $f (x) = a x + b$ é contínua em seu domínio.

Calcule o limite $lim_{x \to - \infty} (2^{x} + 2^{- x})$ .

$\infty$ .

Calcule os limites:

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{5}}$
$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$
$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

685

Calcule o limite justificando as passagens.

$lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{3} + 2}{4 x^{2} + 89}$ .

746

Ache as assíntotas verticais e inclinadas; depois calcule os limites laterais nas assíntotas verticais da função $f (x) = \frac{x^{3} - 3 x - 1}{x^{2} - x} .$

Calcule os limites:

$lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x + 7$
$lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x - 7$

Como a função está definida em $x = 3$ , o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x + 7 = 3^{2} - 3.3 + 7 = 7$ .
Como a função está definida em $x = 3$ , o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x + 7 = 3^{3} - 3.3 - 7 = 11$ .

1517

Prove que a função $f (x) = {\begin{cases} x, & se x é racional \\ - x, & se x é irracional \end{cases}$ é contínua em $0$ .

1519

Sabe-se que $f$ é contínua em $2$ e que $f (2) = 8$ . Mostre que existe $δ > 0$ tal que para todo $x \in D_{f}$ vale $2 - δ < x < 2 + δ \to f (x) > 7$ .

Considere $ϵ = 1$ . Como $f$ é contínua em $2$ , sabemos que existe $δ > 0$ tal que, para $| x - 2 | < δ$ temos que $| f (x) - f (2) | < ϵ = 1$ . Mas $| x - 2 | < δ$ se, e somente se, $2 - δ < x < 2 + δ$ e $| f (x) - f (2) | = | f (x) - 8 | < 1$ se, e somente se, $7 < f (x) < 9$ .

172

Calcule o limite a seguir:

$lim_{x \to - \infty} e^{x} \sin (x)$

Observe que $- 1 \leq \sin (x) \leq 1$ e, portanto, como $e^{x} \geq 0$ , $- e^{x} \leq e^{x} \sin (x) \leq e^{x}$ .

Como $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ e $lim_{x \to - \infty} - e^{x} = 0$ , então, pelo Teorema do Confronto temos $lim_{x \to - \infty} e^{x} \sin (x) = 0$

1712

Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N, + \infty)$ , os valores da função $f (x) = 1 / x^{2}$ estejam no máximo a $0, 1$ unidade de $L = 0$ . Encontre $N$ .
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N, + \infty)$ , os valores da função $f (x) = x / (x + 1)$ estejam no máximo a $0, 01$ unidade de $L = 0$ . Encontre $N$ .
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(- \infty, N)$ , os valores da função $f (x) = 1 / x^{3}$ estejam no máximo a $0, 001$ unidade de $L = 0$ . Encontre $N$ .
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(- \infty, N)$ , os valores da função $f (x) = x / (x + 1)$ estejam no máximo a $0, 001$ unidade de $L = 0$ . Encontre $N$ .

944

Calcule, através da definição de limite, $lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1 = 0$ .

Seja $ϵ > 0$ dado. Queremos $δ > 0$ tal que, quO IMECC é responsável pelos cursando $| x - 0 | < δ$ , $| f (x) - 0 | < ϵ$ .
Considerando $| f (x) - 0 | < ϵ$ , lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $| x - 0 |$ (i.e., $| x |$ ):

| f (x) ? 0 | < ? | e 2 x ? 1 | < ? ? ? < e 2 x ? 1 < ? 1 ? ? < e 2 x < 1 + ? ln (1 ? ?) < 2 x < ln (1 + ?) ln ( 1 ? ? ) 2 < x < ln ( 1 + ? ) 2

Seja

δ = min {| \frac{\ln (1 - ϵ)}{2} |, \frac{\ln (1 + ϵ)}{2}} = \frac{\ln (1 + ϵ)}{2} .

Portanto:

| x | < ? | x | < ln ( 1 + ? ) 2 < ??? ln ( 1 ? ? ) 2 ??? ln ( 1 ? ? ) 2 < x < ln ( 1 + ? ) 2 ln (1 ? ?) < 2 x < ln (1 + ?) 1 ? ? < e 2 x < 1 + ? ? ? < e 2 x ? 1 < ? | e 2 x ? 1 ? (0) | < ?,

que é o que buscávamos provar.

136

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$f (x) = x^{2} - 3 x + 9$ .

$(- \infty, \infty)$

1704

Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f (x) = \frac{x - \sin x}{x^{3}}$ , vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.
Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x = 0$ para a função $f (x) = \frac{1 - \cos x}{x}$ ? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.

Considere a função $f (x) = {\begin{array}{cl} x + 2 & x \leq 2 \\ 3 x - 5 & x > 2 \end{array}$ . Mostre que $lim_{x \to 2} f (x)$ não existe.

154

Sejam $f$ uma função contínua num intervalo $I$ , $a$ e $b$ valores em $I$ . Se $f (a)$ e $f (b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f (x) = 0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $[a, b]$ .

Calcule os limites:

$lim_{x \to π} \frac{3 x + 1}{1 - x}$
$lim_{x \to π} \frac{x^{2} + 3 x + 5}{5 x^{2} - 2 x - 3}$
$lim_{x \to π} {(\frac{x - 3}{x - 5})}^{7}$

1336

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $lim_{x \to 1} \frac{s e n (x - 1)}{x^{2} + x - 2}$ .

$1 / 3$ .

691

Calcule o seguinte limite

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{x}$ .

$e^{1 / 2}$ .

1285

Quais das seguintes funções f têm descontinuidade removível em $a$ ? Se a descontinuidade for removível em $a$ , encontre a função $g$ que é igual a $f$ para $x \neq a$ e contínua em $a$ .

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x + 2}$ , $a = - 2$ .
$f (x) = \frac{x - 7}{| x - 7 |}$ , $a = 7$ .
$f (x) = \frac{3 - \sqrt{x}}{9 - x}$ , $a = 9$ .

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f (x) = x^{2} \sin (π x)$

$lim_{x \to - \infty} f (x)$
$lim_{x \to \infty} f (x)$

103

Considere a função

f (x) = ????????? a ? x, x, 2 x + b, se x < ? 1 se ? 1 ? x < 1 se 1 ? x .

Encontre os limites laterais a direita e a esquerda de $f$ nos pontos $1$ e $- 1.$
Determine os valores de $a$ e $b$ que tornam $f$ contínua em toda a reta.
Calcule $lim_{x \to \infty} f (x)$ e $lim_{x \to - \infty} f (x)$ .

Calcule os seguintes limites:

$lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{3} + 2})$
$lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 2})$
$lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x + 2})$

$- \infty$
$0$
$\infty$

104

Determine os valores para os quais a função

f (x) = ??????? x 2 + 1, se x ? 0 cos x, se 0 < x < 1 x 2 + 1, se 1 ? x

é contínua. Justifique sua resposta.

Calcule o limite $lim_{x \to \infty} \log_{3} x$ .

$\infty$ .

1304

Determine os valores de $λ$ que tornam contínua a função

f (x) = {x 2 + c x se x ? 1 (c x) 2 ? 1 = c 2 x 2 ? 1 se x > 1 .

205

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$lim_{x \to 0^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 0} f (x)$
$f (0)$

$4$
$- 4$
Não existe.
$0$

221

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x - 6}$ :

$lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 3} f (x)$

\begin{tabular}{cc}

$x$ & $f (x)$ \\ \hline

$2.9$ & $- 15.1224$ \\

$2.99$ & $- 159.12$ \\

$2.999$ & $- 1599.12$

\end{tabular}

A tabela parece indicar que $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = - \infty$ .
\begin{tabular}{cc}

$x$ & $f (x)$ \\ \hline

$3.1$ & $16.8824$ \\

$3.01$ & $160.88$ \\

$3.001$ & $1600.88$

\end{tabular}

A tabela parece indicar que $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \infty$ .
Ao analisar as duas tabelas, parece que $lim_{x \to 3} f (x)$ não existe.

1338

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ .

$1$ .

100

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ , onde $f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2} & se x \leq 1 \\ 2 x - 1 & se x > 1 \end{array}$
$lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2}$ , onde $f (x) = {\begin{array}{cc} x & se x \geq 2 \\ x^{2} / 2 & se x < 2 \end{array}$
$lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , com $f (x) = x^{2} - 3 x$ e $f (x) = 1 / x$

1714

Defina $lim_{x \to a^{+}} f (x) = \infty$ e $lim_{x \to a^{-}} f (x) = \infty$ . Se estiver muito difícil, escreva em palavras.
Mostre que $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty$ .
Mostre que $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty$ se e somente se $lim_{x \to \infty} f (\frac{1}{x}) = \infty$ .

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{- x^{2} - 1}$ .

$y = - 1$ .

760

Mostre que a equação

x 26 + x 2 ? 320 = 0

possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.

1715

Se você investir $1000$ reais em uma aplicação que paga $7$ % de juros compostos em $n$ vezes por ano, então em $10$ anos sua aplicação terá no total $1000 (1 + 0, 07 / n)^{10 n}$ reais.

Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta trimestralmente ( $n = 4$ )?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ( $n = 12$ )?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ( $n = 365$ )?
Pesquise a taxa de juros paga pela poupança, e o período em que ela é composta. Calcule a quantidade de dinheiro que você terá se investir uma certa quantia de dinheiro (pense no dinheiro você tem disponível para investir) em $1$ , $2$ , $5$ e $10$ anos com essa taxa e período de composição. Interprete os resultados pensando em seu futuro!
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se os juros forem compostos continuamente, isto é, se $n \to \infty$ ?

171

Seja $h$ uma função definida em $[- 1, 1]$ , sendo que $h (- 1) = - 10$ e $h (1) = 10$ . Existe um valor $- 1 < c < 1$ tal que $h (c) = 0$ ? Por quê?

Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$ .

125

Dê um exemplo de uma função

f (x)

para a qual

lim_{x \to 0} f (x)

não exista.

$f (x) = 1, x \neq 0$ ; $f (0) = 2$ .

1790

Seja $f$ uma função definida em $R$ e suponha que exista $M > 0$ tal que $| f (x) - f (p) | \leq M | x - p |$ para todo $x$ . Prove que $f$ é contínua em $p$ .

212

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$f (x) = {\begin{array}{ccc} a (x - b)^{2} + c, & se x < b \\ a (x - b) + c, & x se \geq b \end{array},$
sendo que $a$ , $b$ e $c$ são números reais.

$lim_{x \to b^{-}} f (x)$
$lim_{x \to b^{+}} f (x)$
$lim_{x \to b} f (x)$
$f (b)$

Calcule os limites indicados dividindo o numerador e o denominador por uma potência conveniente de $x$ . Como esses limites se relacionam com as mais altas potências do numerador e do denominador?

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} - 2}{3 x^{4} - x^{3} + 1}$
$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{6} - 2 x + 1}}{x^{3} - x^{2} + 2}$
$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{x + 1}$

1344

Verifique que a equação $x^{179} + \frac{163}{1 + x^{2} + \sin^{2} x} = 119$ possui pelo menos uma solução.

160

Seja $f : R \to R$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f (f (f (x))) = x^{2} + 1$ . Prove que $f$ é par.

1286

Seja $f : I \to R$ , contínua, onde I é um intervalo fechado qualquer. Prove que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

1303

Determine os valores de $λ$ que tornam contínua a função $g : (0, π) \to R,$ dada por

g (x) = ????? tan (x) se x ? ? 2 ? se x = ? 2

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas ou forneça um contra exemplo.

Se $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ e $lim_{x \to a} g (x) = 0$ , então $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \infty$ .
Sejam $p (x)$ e $q (x)$ polinômios de grau $m$ e $n$ respectivamente. Se $lim_{x \to \infty} \frac{p (x)}{q (x)} = 0$ , então $m \geq n$ .
Se $lim_{x \to a} (f (x) g (x))$ existe, então $lim_{x \to a} f (x)$ e $lim_{x \to a} g (x)$ existem e $lim_{x \to a} (f (x) g (x)) = (lim_{x \to a} f (x)) (lim_{x \to a} g (x)) .$
Se $f (x)$ e $g (x)$ são contínuas em $a$ , então $(f + g) (x)$ também é contínua em $a$ .

214

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$f (x) = {\begin{array}{ccc} x + 1, & se x < 1 \\ 1, & se x = 1 \\ x - 1, & se x > 1 \end{array}$

$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$f (1)$

2
0
Não existe
1

137

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Verifique se os seguintes limites existem. Explique.

$lim_{x \to \infty} 2^{1 / x}$ .
$lim_{t \to \infty} \sin x$ .
$lim_{x \to 2^{-}} \tan^{- 1} (\frac{1}{2 x - 4})$ .

Calcule o limite $lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} - 2 x + 1}{4 x^{4} + 2 x + 3}$ .

$5 / 4$

Calcule os seguintes limites:

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - x}{2 x + 3}$
$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 3}$

$- 1 / 2$
$0$

116

Responda os seguintes itens:

Calcule $lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x} - 5 \cos (\frac{1}{x^{2} + 2 x})}{- \frac{5}{x} + 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + 2 x})}$ .
Existe algum número real $a$ tal que a função $f (x) = {\begin{array}{ccl} \frac{\frac{2}{x} - 5 \cos (\frac{1}{x^{2} + 2 x})}{- \frac{5}{x} + 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + 2 x})}, & se & x \neq 0 \\ a, & se & x = 0 \end{array}$ seja contínua?

166

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f (x)$ . O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f (a) \cdot f (b) < 0$ .

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f (a) < 0$ , $f (b) > 0$ e $a < b$ . O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a, b]$ tal que $f (c) = 0$ . O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$ . Seja $d = \frac{a + b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

$f (d) = 0$ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
$f (d) < 0$ - Como $f (b) > 0$ , sabemos que há uma raiz no intervalo $[d, b]$ . Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
$f (d) > 0$ - Como $f (a) < 0$ , sabemos que há uma raiz no intervalo $[a, d]$ . Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f (x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f (a) > 0$ e $f (b) < 0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a, d]$ e no caso e $[d, b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f (x) = e^{x} - 2$ no intervalo $[0.65, 0.7]$ .

A raiz aproximada é $x = 0.69$ .

Os intervalos utilizados são:

$[0.65, 0.7] [0.675, 0.7] [0.6875, 0.7]$

$[0.6875, 0.69375] [0.690625, 0.69375]$

155

Determine todas as funções contínuas $f : R \to R$ tais que $f (x + y) = f (x) f (y)$ para quaisquer x, y reais.

113

Considere a função real de variável real definida por

f (x) = 1 ? x 2 ?????? 1 ? t g x

Determine o domínio de $f$ .
Estude $f$ quanto a continuidade.

1521

Dê exemplo de uma função definida em $R$ , que não seja contínua em $2$ , mas que $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ .

1526

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.

222

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x - 36}{x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9}$ :

$lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 3} f (x)$

\begin{tabular}{cc}

$x$ & $f (x)$ \\ \hline

$2.9$ & $- 335.64$ \\

$2.99$ & $- 30350.6$ \\

\end{tabular}

A tabela parece indicar que $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = - \infty$ .
\begin{tabular}{cc}

$x$ & $f (x)$ \\ \hline

$3.1$ & $- 265.61$ \\

$3.01$ & $- 29650.6$ \\

\end{tabular}

A tabela parece indicar que $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = - \infty$ .
Ao analisar as duas tabelas, parece que $lim_{x \to 3} f (x) = - \infty$ .

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada `` $\infty - \infty$ " exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $lim_{x \to \infty} (\sqrt{2 x^{2} - 7} - x)$ .

210

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$f (1)$
$lim_{x \to 0^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

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