Conteúdo de hipérbole

Professor Alcides J.

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Respondeu há 8 meses

A equação da hipérbole será:

Abaixo a explicação:

A definição mais básica de uma hipérbole é: "Lugar geométrico de todos os pontos cuja diferença entre a distância  a um foco e da distância a um foco é constante".

A presente hipérbole possui seus dois focos sobre o eixo x e estão equidistantes da origem. A forma da sua equação será:

Partindo-se dessa definição, pode-se afirmar que as distâncias do ponto aos focos e , respectivamente, serão:

Essa diferença dessas 2 distâncias deverá ser a mesma diferença entre as distâncias que poderá ser verificada quando . Nesta ordenada, que é a mesma ordenada dos dois focos, a equação da hipérbole será:

Dois pontos da hipérbole estarão sobre o eixo x:

e

Tomando-se o ponto , suas distâncias a cada foco deverão ser, respectivamente:

Portanto:

Comparando-se essa diferença de distâncias com a diferença das distâncias do ponto P aos 2 focos, deveremos ter:

Elevando-se os 2 lados ao quadrado:

Portanto:

Para se descobrir , basta agora substituir o valor de na equação da hipérbole e então substituir e para o valor de um ponto conhecido. Esse ponto conhecido pode ser o próprio ponto P, dado pelo enunciado. Tem-se então:

Faz-se: e . Isola-se então :

Logo:

Portanto, chega-se na equação final desejada: