Derivada parcial de segunda ordem

Professor Mateus B.

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Fala Micael! Vou te ajudar nessa! Só vem!

--->  df(x,y)/dx = x.y².cos(xy)

--->  df(x,y)/dy = y.x².cos(xy)

---> d²f(x,y)/dxdy = 2.x.y.cos(xy) - x²y².sen(xy)

---> d²f(x,y)/dydx = 2.x.y.cos(xy) - x²y².sen(xy

Logo, as derivadas segunda sao iguais!

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Professor Willian K.

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Respondeu há 4 anos

Não Micael, as derivadas parciais fazendo em relação a x e depois y (fxy) e em relação a y e depois x (fyx) que é chamada de derivada "mista". Existe um teorema que explica a sua dúvida que diz o seguinte, é o teorema de Clairaut-Schwarz: Se a função é de classe C²(uma função que tem derivadas parciais até segunda ordem(quando vc deriva 2x) e todas as funções são contínuas), as derivadas mistas são iguais. Em outras palavras Micael, sempre que uma função for "comportada" como geralmente são as que estudamos em cálculo esse fenômeno vai acontecer. 

Mas eu acredito que vc pode ter errado nas regras de derivação, então vamos lá:

F(x,y)=xy.sen(xy) para encontrar fxy, devo fazer primeiro fx:

Fx(derivada de F em relação a x) = xy.sen(xy)     (veja que tudo o que tiver y será avaliado como constante e lembre que a derivada de uma constante vezes uma função é sempre a constante vezes a derivada desta função: (xy)' = (1x), outro exemplo:seja c uma constante (c x²)'= c2x. )

Fx(derivada de F em relação a x) = (1y).(sen(xy)) + xy².cos(xy) (Agora devemos usar a regra da cadeia e do produto: sejam duas funções f e g: (f.g)'= f'g + f.g'.) )

Fxy((derivada de F em relação a x) em relação a y) = 1.(sen(xy) + y.cos(xy).x + 2yx.(cos(xy)) + xy².(-sen(xy)x) 

Fxy = sen(xy) + xy.cos(xy) + 2xy.cos(xy) - x²y²sen(xy)  (Agrupando os termos.)

Fxy = sen(xy) - x²y²sen(xy) + 3xy.cos(xy)   (Colocando sen(xy) em evidência.)

Fxy = sen(xy)(1- x²y²) + 3xy.cos(xy)   (Resposta.)

Pelo teorema de Clairaut-Schwarz, podemos afirmar mesmo sem fazer contas que Fxy = Fyx = sen(xy)(1- x²y²) + 3xy.cos(xy), pois as funções envolvidades são contínuas e possuem derivadas de segunda ordem.