Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias aos pontos A(0,0) e B(2,-4) vale 20.

Professor Everton C.

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Respondeu há 8 anos

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Ola Lucas,
bem a idéia é montar uma equação cuja solução sejam os pontos em que a soma dos quadrados das distâncias a esses pontos seja 20. Primeiro precisamos traduzir matematicamente essa frase, nesse caso o passo 1 é saber o que é a distância entre dois pontos. A fórmula vem do teorema de Pitágoras e é o coração da geometria Euclideana que usamos no nosso dia-a-dia. Relembrando, dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) a distância entre eles é sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) onde sqrt é a minha abreviação pra raiz quadrada. Perfeito, então temos três pontos o A(0,0), B(2,-4) e o que eu não sei P(x,y) a distância entre A e P, que eu vou chamar de dA = sqrt( (x-0)^2 + (y-0)^2)) = sqrt(x^2 + y^2) e a distância entre B e P, que eu vou chamar de dB = sqrt( (x-2)^2 + (y-(-4))^2) = sqrt((x-2)^2 + (y+4)^2).

Beleza, agora tudo que precisamos é fazer com que a soma de dA^2 + dB^2 seja 20, essa parte é simples é só fazer x^2 + y^2 + (x-2)^2 + (y+4)^2 = 20. Pronto, problema resolvido mas a gente pode aprender mais com esse problema.

Qual a cara desse "lugar geométrico" que nesse caso é um nome pomposo pra uma curva. Bem eu não saberia dizer olhando o que a gente fez mas vamos expandir e ver o que sai. Eu sei que (a+b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 certo? Então vamos lá x^2 + y^2 + x^2 - 4*x + 4 + y^2 + 8*y + 16 = 20, ok agora vamos somar os caras com o mesmo expoente e ficamos com 2*x^2 - 4*x + 2*y^2 + 8*y + 20 = 20. Tah ficando mais bonito mas a gente ainda pode melhorar, passando o 20 pro outro lado e dividindo tudo por 2 ficamos com x^2 - 2*x + y^2 + 4*y = 0. Bem eu ainda não vejo nada de especial mas eu tenho outro truque na manga, lembra quando fizemos (a+b)^2? Bem a gente pode fazer o processo inverso, que se chama completar quadrados. A parte com o x ficaria perfeita se fosse (x - 1)^2 e a y ficaria perfeita com (y+2)^2 o problema é q iam aparecer dois termos novos o 1 e o 2 por causa da parte b^2, mas isso é fácil de resolver é só subtrair o 1 e o 2. Tente fazer os detalhes em casa mas o importante é que ficamos com um cara bem mais bonitinho o (x-1)^2 + (y+2)^2 = 3 e esse cara eu sei quem é, é uma circunferência de raio raiz de 3 com centro (1,-2).!

Pra vc ver que eu não estou mentindo veja http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+%2B+y^2+%2B+%28x-2%29^2+%2B+%28y%2B4%29^2+%3D+20
esse "lugar geométrico" espetacular não é nada mais nada menos que uma circunferência!

Por sinal fixar dois pontos e manter a soma da distância deles a um ponto constante (não o quadrado da distância) é uma das  definições de elipse! Não sei se você já está vendo isso mas é bom saber.

Eu só comentei que a distância que você conhece usando a fórmula de Pitágoras é a definição de geometria Euclideana porque se você resolver calcular a distância de outro jeito a  geometria muda, esse é um dos ingredientes de Relatividade Geral! Logo se você quiser entender a história das ondas gravitacionais é bom aprender bem essa parte!

Bem espero ter ajudado! Divirta-se!