Determine os pontos críticos da função abaixo e classifique-os: F(x,y) = x2 + y2 - 6x -2y + 7

Question

Determine os pontos críticos da função abaixo e classifique-os:  F(x,y) = x2 + y2 - 6x -2y + 7

Profes A. · Accepted Answer

Para encontrar os pontos críticos da função $F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 7$ , precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a $x$ e $y$ e igualá-las a zero.

Calculando as derivadas parciais:

F_{x} = \frac{\partial F}{\partial x} = 2 x - 6

F_{y} = \frac{\partial F}{\partial y} = 2 y - 2

Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

F_{x} = 0 ⟹ 2 x - 6 = 0 ⟹ x = 3

F_{y} = 0 ⟹ 2 y - 2 = 0 ⟹ y = 1

Portanto, o único ponto crítico é ( (3, 1) ).

Classificando o ponto crítico usando o teste da segunda derivada:

Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

F_{x x} = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} = 2

F_{y y} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} = 2

F_{x y} = \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} = 0

Agora, usamos o determinante da matriz Hessiana $H$ :

D = F_{x x} F_{y y} - (F_{x y})^{2} = (2) (2) - (0)^{2} = 4

Análise do Determinante:
Se $D > 0$ e $F_{x x} > 0$ , então ( (3, 1) ) é um mínimo local.
Se $D > 0$ e $F_{x x} < 0$ , então ( (3, 1) ) é um máximo local.
Se $D < 0$ , então ( (3, 1) ) é um ponto de sela.
Se $D = 0$ , o teste é inconclusivo.

Como $D = 4 > 0$ e $F_{x x} = 2 > 0$ , concluímos que ( (3, 1) ) é um mínimo local.

Resultado: O ponto crítico é ( (3, 1) ) e é um mínimo local.

Rafaela F. · Answer

Obtemos um ponto crítico quando a primeira derivada de F em relação a x é zero e a primeira derivada de F em relação a y também é zero: D1F(x,y)=2x-6=0=>x=3 D2f(x,y)=2y-2=0=>y=1 Assim o ponto (3,1) é o ponto crítico de F.  O ponto crítico pode ser máximo, mínimo ou ponto de sela. Para classificar o ponto: Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem: D1,1F(3,1)=2 D1,2F(3,1)=0 D2,2F(3,1)=2  Montamos a chama matriz Hessiana                                                                                |2 0|                                                                               |0 2| Calculamos o determinante da matriz: Det H(3,1)=2.2-0.0=4 Como det>0 e D1,1F(3,1)=2>0 f admite um mínimo relativo em (3,1).

Fernando Z. · Answer

os extremos ocorrem onde o  gradiente é nulo:  grad( f(x,y)) = [ 2x -6 , 2y - 2 ] = [0 , 0 ] assim x= 3  e y=1  analisando a matriz Hessiana: Hess( f(x,y) ) = [ 2 , 0]                                 [ 0 , 2]  Temos que um mínimo global da função.  Confira com o gráfico em: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29+%3D+x%5E2+%2B+y%5E2+-+6x+-2y+%2B+7  Por se tratar de um paraboloide a análise é simples. Mas outras funções seria necessário analisar as fronteiras (Multiplicadores de Lagrange caso seja otimização sob restrição), pontos de inflexão e outros máximos e mínimos locais.

Determine os pontos críticos da função abaixo e classifique-os: F(x,y) = x2 + y2 - 6x -2y + 7

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