Divisão de polinômios e coeficientes

Question

Seja p(x) um polinômio que dividido por x - 3 tem resto 1 e dividido por x+2 tem resto 11.  Então a soma dos coeficientes do resto da divisão de p(x) pelo polinômio x² -x - 6 é:

Guilherme S. · Answer

Obs: Antes de mais nada, observemos que a forma fatorada de x²-x-6 é igual a ao produto (x-3)*(x+2).  Pelo Teorema do Resto, temos: p(3)=1 e p(-2)=11 Sejam q e r = ax+B, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de p(x) por x²-x-6. Temos: p(x)=q(x-3)*(x+2) + (ax+b)  Tomemos os valores numéricos que desses polinômios em 3 e-2: p(3)= q(3)*(3-3)*(3+2)+(a*3+b) 1=3*a+b  p(-2)=q(-2)*(-2-3)*(-2+2)+(-2*a+b) 11=-2*a+b  Resolvendo o sistema formado por 3*a+b=1 e -2*a+b=11, temos:  3*a+b=1.        Eq 1 -2*a+b=11.    Eq 2.      *(-1)  5a=-10 a=-2.       Substituindo a=-2 na Eq 1, temos: 3*(-2)+b=1 b=7.  Logo, r=ax+b.   Então, a resposta será: r=-2x+7

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