Dúvida questão áreas

Matemática Ensino Médio Geometria regra de 3 circunferencia

Exercício:

Situações-problema ligadas à otimização de espaços são
recorrentes em demarcações geográficas. Considere que, para o
cultivo de espécies vegetais raras, será cercada parte de uma
reserva florestal na margem de um rio, com a frente do terreno
aberta para esse rio. O comprimento total da cerca será de 100 m.
O terreno cercado pode ter a forma de um retângulo ou de um
semicírculo, com áreas máximas. A margem do rio é uma linha
reta e em cada metro quadrado do terreno cercado serão
plantadas, em média, 6,28 unidades das espécies vegetais.
Com base na situação hipotética precedente, faça o que se pede
no item 80, que é do tipo B.

 

 Considerando 3,14 como valor aproximado para π, calcule
quantas espécies vegetais poderão ser plantadas a mais no
terreno de maior área em comparação às que poderão ser
plantadas no de menor área. Divida o resultado obtido
por 10. Após efetuar todos os cálculos solicitados, despreze,
para a marcação no Caderno de Respostas, a parte
fracionária do resultado final obtido, caso exista. "

GABARITO: 215

Dúvida: pensei assim -> Comprimento das cercas = 100m. 100/3 (lados retângulo - lado que vai ficar sem cerca/de frente pro rio). Lado retângulo = 33,33 m. Faço a área e multiplico por 6,28: 6977,7 plantas no retângulo. Já no semicírculo, fiz PI * R = 100 -> Raio = 31,84 -> área * 6,28 = 9995,51 plantas. Subtraindo um pelo o outro e dividindo por 10: 301. Qual foi meu erro?

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Barbara perguntou há 2 anos

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Professor Lucas P.
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Respondeu há 2 anos
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Boa tarde, Barbara. O semicírculo de maior área de fato é aquele qie tem por raio o valor (100/3,14), pois é o contido na maior semifircunferência que se pode fazer com a cerca. No entanto, o retângulo de maior área não é necessariamente aquele formado pelos lados sendo um terço do tamanho da cerca. Devemos calcular qual é o retângulo de maior área. Sabemos que o perímetro do retângulo é dado por p = 100 + lado do rio (Lr), sendo que 0 < Lr < 100 (basta imaginar as duas situações extremas). E sabemos que a área é Lr * (100-Lr)/2 (o produto dos dois lados do retângulo). Assim, devemos calcular o máximo de A = Lr * (100-Lr)/2, que é uma função quadrática em Lr na forma fatorada. Em sendo uma função quadrática, sabemos que o vértice se encontra na média entre as raízes e, estando a função na forma fatorada, temos imediatamente que as raízes são Lr = 0 e Lr = 100. Assim, o vértice se encontra para Lr = 50. Ou seja, A = 50 * (100-50)/2 = 1250. Para o semicírculo, temos que 3,14R = 100 e, portanto, R = 100/3,14. A = 3,14 R^2 / 2 (semicírculo) A = 3,14 (100/3,14)^2 / 2 Subtraindo-se as áreas e multiplicando pela produtividade, temos: [3,14 (100/3,14)^2 / 2 -1250]*6,28 = 2150 Dividindo por 10, temos 215.

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